Leibniz 3.1.1

Durchschnittsprodukt und Grenzprodukt

Für eine Einführung in die Leibniz-Abschnitte, lesen Sie bitte „Einführung in die Leibnize“.

Die Produktionsfunktion von Alexei, die in Abbildung 1 grafisch dargestellt ist, beschreibt, wie sich seine täglichen Lernstunden in seine Abschlussnote umwandeln. Wir haben gesehen, dass sein Grenzprodukt an jedem Punkt die Steigung der Funktion ist, und sein Durchschnittsprodukt ist die Steigung des Fahrstrahls zum Ursprung. Jetzt schauen wir uns an, wie man das Grenzprodukt und das Durchschnittsprodukt mathematisch beschreiben kann.

Eine allgemeine mathematische Darstellung dieser Beziehung lautet:

$$y = f(h)$$

wobei $y$ die Endnote (der Output) und $h$ die täglichen Lernstunden (der Input) ist. $f(h)$ ist die Produktionsfunktion.

Durchschnittsprodukt

Gesamtoutput geteilt durch einen bestimmten Input, zum Beispiel pro Arbeitskraft (geteilt durch die Anzahl der Arbeitskräfte) oder pro Arbeitsstunde einer Arbeitskraft (Gesamtoutput geteilt durch die Gesamtzahl der geleisteten Arbeitsstunden).

Wenn Alexei $h$ Stunden pro Tag lernt, wird sein Durchschnittsprodukt der Arbeit (DPA) berechnet, indem die Endnote durch die Anzahl der Lernstunden geteilt wird:

$$\text{DPA} = \frac{y}{h} = \frac{f(h)}{h}$$

Dies ist die durchschnittliche Anzahl der Notenpunkte pro Stunde täglichen Lernens. Im Diagramm ist es die Steigung des Fahrstrahls zum Ursprung.

Grenzprodukt

Die zusätzliche Produktionsmenge, die erzeugt wird, wenn ein bestimmter Input um eine Einheit erhöht wird, während alle anderen Inputs konstant bleiben.

Wir haben das Grenzprodukt der Arbeit (GPA) von Alexei definiert als den Anstieg seiner Note durch die Erhöhung der Lernzeit um eine Stunde. Genauer gesagt ist es die Rate, mit der seine Note mit zunehmender Lernzeit steigt, was der Steigung der Produktionsfunktion entspricht.

Nehmen wir an, dass er $h$ Stunden pro Tag lernt. Um sein Grenzprodukt zu ermitteln, betrachten wir, wie sich seine Note ändern würde, wenn er seine Lernzeit um $\Delta h$ Stunden erhöhen würde. Wenn sich die Note um $\Delta y$ erhöht, dann ist die Veränderung der Note pro Einheit veränderter Lernzeit wie folgt:

$$\frac{\Delta y}{\Delta h} = \frac{f(h + \Delta h) - f(h)}{\Delta h}$$

Da $\Delta h$ gegen null tendiert, neigt dieser Bruch zur Ableitung der Funktion. Wir schreiben:

$$\text{wenn } \Delta h \to 0, \quad \frac{\Delta y}{\Delta h} \to \frac{dy}{dh}$$

was die Steigung der Produktionsfunktion ist. Mit anderen Worten: Alexeis Grenzprodukt, wenn er $h$ Stunden lernt, ist durch die Ableitung der Produktionsfunktion gegeben:

$$\text{GPA} = \frac{dy}{dh}=f'(h)$$

Das ist die rechnerische Definition des Grenzprodukts. In den folgenden Leibniz-Abschnitten werden wir die rechnerischen Definitionen von Grenzmengen verwenden. Im Text haben wir das Grenzprodukt berechnet, indem wir den Anstieg des Produktionsergebnisses ermittelt haben, wenn der Input um eine Einheit zunimmt. Das ist eine gute Annäherung an das Grenzprodukt, wie es die Rechnung definiert, wenn die einzelnen Einheiten kleine Mengen sind. In Abbildung 1 sind die Einheiten beispielsweise Stunden, und auf der horizontalen Achse befinden sich 24 Stunden. Der Anstieg des Produktionsergebnisses bei einem Anstieg des Inputs um eine Stunde ist ein grober Näherungswert für die Steigung. Wenn wir jedoch stattdessen Minuten auf die horizontale Achse setzen und den Anstieg des Produktionsergebnisses bei einem Anstieg des Inputs um eine Minute berechnen, würden wir einen sehr guten Näherungswert für die Steigung dieser Funktion erhalten.

Ein Beispiel

Eine Produktionsfunktion mit ähnlichen Eigenschaften wie in Abbildung 1 ist:

$$y = Ah^\alpha$$

wobei $A$ und $\alpha$ solche Konstanten sind, dass $A \gt 0$ und $0 \lt \alpha \lt 1$; sie bestimmen die genaue Lage und Krümmung der Produktionsfunktion. Wir werden weiter unten erklären, warum $\alpha$ zwischen 0 und 1 liegen muss. Beachten Sie, dass diese Funktion die Standardeigenschaften einer Produktionsfunktion hat: $y=0$, wenn $h=0$, und wenn $h$ positiv ist, ist auch das Produktionsergebnis $y$ positiv.

Die Einschränkung $\alpha \gt 0$ stellt sicher, dass die Produktionsfunktion für alle $h \geq 0$ ansteigend ist (dies ist Ihnen vielleicht aus dem, was Sie über Exponenten wissen, klar, aber wir werden es weiter unten verifizieren, indem wir zeigen, dass das Grenzprodukt positiv ist). Das bedeutet, dass die Funktion keine exakte Darstellung der Funktion in Abbildung 1 ist, die für $h \gt 15$ konstant (flach) ist.

Das Durchschnittsprodukt der Arbeit ist dann:

$$\text{DPA} = \frac{y}{h} = \frac{Ah^\alpha}{h} = Ah^{\alpha-1}$$

Das Grenzprodukt der Arbeit ist die Ableitung der Produktionsfunktion:

$$\text{GPA} = \frac{dy}{dh} = A\alpha h^{\alpha -1}$$

Beachten Sie, dass wir das GPA wie folgt umschreiben können:

$$\text{GPA} = \frac{\alpha}{h} \times Ah^\alpha = \frac{\alpha y}{h}$$

Wir wissen, dass, wenn $h$ positiv ist, auch $y$ positiv ist. Anhand dieser Gleichung können Sie also leicht erkennen, dass $\alpha \gt 0$ impliziert, dass das Grenzprodukt der Arbeit positiv ist – mit anderen Worten, Alexeis Note steigt mit der Anzahl der Lernstunden.

Was ist mit der Einschränkung $\alpha \lt 1$? Da das Durchschnittsprodukt der Arbeit $\frac{y}{h}$ ist und das Grenzprodukt der Arbeit $\frac{\alpha y}{h}$ ist, ist $\alpha$ das Verhältnis des Grenzprodukts zum Durchschnittsprodukt. Unsere Annahme, dass $\alpha \lt 1$, bedeutet also, dass das Grenzprodukt der Arbeit geringer ist als das Durchschnittsprodukt der Arbeit. Sie können dies in Abbildung 1 sehen, wenn Sie die GPA (die Steigung der Kurve) und die DPA (die Steigung des Fahrstrahls zum Ursprung) an dem Punkt vergleichen, an dem $h=4$.

Diese Eigenschaft der Produktionsfunktion impliziert, dass unabhängig davon, wie viele Stunden Alexei lernt, die zusätzlichen Notenpunkte, die er für eine zusätzliche Stunde Lernen erhalten würde, geringer sind als die durchschnittlichen Punkte pro Stunde, die er bisher verdient hat.

Lesen Sie ehr: Abschnitt 6.1 und Abschnitt 6.4 von Malcolm Pemberton and Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4th ed. Manchester: Manchester University Press.