Leibniz 3.1.2

Abnehmende Grenzproduktivität

Für eine Einführung in die Leibniz-Abschnitte, lesen Sie bitte „Einführung in die Leibnize“.

Die Produktionsfunktion von Alexei hat die Eigenschaft der abnehmenden Grenzproduktivität. Wir können das grafisch sehen: Die Kurve wird flacher, wenn die Anzahl der täglichen Lernstunden steigt. Was bedeutet das für die mathematischen Eigenschaften der Produktionsfunktion?

Wenn die Produktionsfunktion $y=f(h)$ lautet, ist das Grenzprodukt der Arbeit $\frac{dy}{dh}=f'(h)$, das heißt, das Grenzprodukt der Arbeit nimmt mit steigendem $h$ ab, wenn:

$$\frac{d}{dh}\left( \frac{dy}{dh} \right) = \frac{d^{2}y}{dh^{2}} < 0$$

oder äquivalent dazu:

$$f’’(h) \lt 0$$

Das heißt, die zweite Ableitung der Produktionsfunktion ist negativ.

Ein Beispiel

Betrachten Sie erneut die Produktionsfunktion:

$$y = Ah^\alpha$$

wobei $A$ und $\alpha$ solche Konstanten sind, dass $A \gt 0$ und $0 \lt \alpha \lt 1$. Wir haben in Leibniz 3.1.1 gezeigt, dass für diese Produktionsfunktion

$$\text{GPA} = \frac{dy}{dh} = \alpha Ah^{\alpha -1}$$

das so lange positiv ist, wie die Lernstunden $h$ positiv sind. Wir wollen nun zeigen, dass dieses Grenzprodukt mit zunehmender Stundenzahl $h$ immer kleiner wird.

Eine Möglichkeit, dies zu sehen, ist die Betrachtung des Ausdrucks

$$\alpha Ah^{\alpha -1}$$

$h$ wird zur Potenz $\alpha -1$ erhoben, die negativ ist, denn $\alpha \lt 1$. Erinnern Sie sich an die Eigenschaften negativer Exponenten, die besagen, dass $h^{\alpha -1}$ abnimmt, wenn $h$ steigt, und da $A$ und $\alpha$ positiv sind, nimmt auch $\alpha Ah^{\alpha -1}$, das Grenzprodukt der Arbeit, ab.

Alternativ können wir auch zeigen, dass das Grenzprodukt abnimmt, indem wir es ableiten:

$$\frac{d^2 y}{dh^2} = (\alpha -1)\alpha Ah^{\alpha -2}= \alpha(\alpha -1)\frac{Ah^\alpha}{h^2} =\alpha(\alpha -1)\frac{y}{h^2}$$

Wenn $h$ positiv ist, wissen wir, dass $y$ ebenfalls positiv ist. Wenn also $0 \lt \alpha \lt 1$, $\alpha(\alpha -1) \lt 0$, und so:

$$\frac{d^2 y}{dh^2} =\alpha(\alpha -1)\frac{y}{h^2} \lt 0$$

Das ist es, was wir zeigen wollten: Die zweite Ableitung der Produktionsfunktion ist negativ, das heißt, das Grenzprodukt fällt, wenn $h$ steigt. Mit anderen Worten: Das Grenzprodukt der Arbeit nimmt ab.

In Leibniz 3.1.1 haben wir gezeigt, dass das Grenzprodukt kleiner ist als das Durchschnittsprodukt, wenn $\alpha \lt 1$ ist. Diese Eigenschaft steht in engem Zusammenhang mit dem Konzept des abnehmenden Grenzprodukts: Wenn das Grenzprodukt einer Produktionsfunktion für alle Werte des Produktionseinsatzes abnehmend ist, dann gilt auch, dass das Grenzprodukt geringer ist als das Durchschnittsprodukt (GPA < DPA).

Abbildung 2 zeigt den Graphen der Produktionsfunktion $y = Ah^\alpha$ für den Fall, dass $\alpha =0,4$ und $A=30$, zusammen mit dem Graphen des Grenzprodukts der Arbeit. Für jeden Wert von $h$ zeigt das obere Diagramm den Wert von $y$, und das untere Diagramm zeigt die Steigung der Produktionsfunktion, $dy/dh$. Sie können sehen, dass das Grenzprodukt der Arbeit mit $h$ abnimmt.

Lesen Sie mehr: Abschnitte 6.4 und 8.4 von Pemberton und Rau (2016).