Leibniz 3.6.1

Modellierung des technologischen Wandels

Für eine Einführung in die Leibniz-Abschnitte, lesen Sie bitte „Einführung in die Leibnize“.

Bei einer Landwirtin wie Angela findet ein technologischer Wandel statt, wenn sie mit dem gleichen Arbeitsaufwand mehr Getreide ernten kann. Mathematisch gesehen können wir den technologischen Wandel als eine Veränderung der Parameter der Produktionsfunktion modellieren.

Im Text haben wir den technischen Fortschritt mit Abbildung 3.12 illustriert, die wir im Folgenden als Abbildung 1 wiedergeben. Angelas Produktionsfunktion verschiebt sich nach oben, weil sie in der Lage ist, mehr Getreide pro Arbeitsstunde zu produzieren.

Die Produktionsfunktion, mit der wir bisher gearbeitet haben (insbesondere in Leibniz 3.1.2), lautet:

$$y = Ah^\alpha$$

In diesem Beispiel steht $h$ für Angelas tägliche Arbeitsstunden auf ihrer Farm und $y$ für ihren täglichen Output an Getreide. $A$ und $\alpha$ sind zwei Parameter, die die spezifische Form und Lage ihrer Produktionsfunktion beschreiben; wir haben angenommen, dass $A \gt 0$ und $0 \lt \alpha \lt 1$. Die erste Annahme bedeutet einfach, dass die Arbeit in der Erzeugung und nicht in der Zerstörung von Getreide besteht. Die zweite Annahme setzt ein abnehmendes Grenzprodukt der Arbeit voraus, so dass die Produktionsfunktion eine konkave Form hat.

Technischer Fortschritt bedeutet, dass mit der gleichen Menge an Input mehr produziert werden kann: Die Produktionsfunktion wird nun eine höhere Getreidemenge für die gleiche Anzahl an Arbeitsstunden bereitstellen. Mathematisch gesehen gibt es zwei Möglichkeiten, dies mit der Produktionsfunktion von Angela zu erreichen.

Wenn $A$ steigt, dann steigt auch der Output bei einem gegebenen Level an Arbeitsstunden. Ein Anstieg von $A$ kann also als technischer Fortschritt interpretiert werden.

Wenn $\alpha$ steigt, dann sinkt der Output, wenn $0 \lt h \lt 1$ und steigt, wenn $h \gt 1$. Wenn wir die Maßeinheit $h$ also wörtlich als eine Stunde interpretieren, dann scheint $h \gt 1$ der Normalfall zu sein, so dass ein Anstieg von $\alpha$ auch als technischer Fortschritt interpretiert werden kann.

Die beiden unterschiedlichen Arten, den technischen Fortschritt zu modellieren, sind in den beiden Feldern der Abbildung 2 skizziert. Im linken Feld erhöht ein Anstieg von $A$ $y$ um das gleiche Vielfache bei jedem Wert von $h$. Wenn zum Beispiel $\alpha=\frac{1}{2}$ und $A$ von $1$ auf $2$ ansteigt, dann ändert sich $y$ von $\sqrt{h}$ auf $2\sqrt{h}$. Das heißt, der Output steigt bei einem beliebigen Arbeitsaufwand um 100 %. Auf der rechten Seite erhöht eine Anhebung von $\alpha$, bei konstant gehaltenem $A$, $y$ für jedes $h\gt1$: Wenn zum Beispiel $A = 1$, $h=8$ und $\alpha$ von $\frac{1}{3}$ auf $\frac{1}{2}$ steigt, dann steigt Angelas tägliche Getreideproduktion von $2$ auf $2\sqrt{2}$ Einheiten, also um etwas mehr als 40 %.

Die beiden Felder in Abbildung 2 zeigen, dass eine Erhöhung von $A$ und eine Erhöhung von $\alpha$ ähnliche, aber nicht identische Auswirkungen haben. Der Parameter $\alpha$ bestimmt die Krümmung der Funktion. Wenn $\alpha \lt 1$ ist, wie wir angenommen haben, ist sie konkav. Aber wenn $\alpha=1$ ist sie eine Gerade, und wenn $\alpha \gt 1$ ist sie konvex. Wenn $\alpha$ anfangs kleiner als 1 ist und dann ein wenig ansteigt, wird die Kurve weniger konkav. In der Volkswirtschaftslehre bedeutet dies, dass der abnehmende Grenzertrag weniger schnell einsetzt, wenn Angela ihre tägliche Arbeitszeit erhöht, als dies bei dem kleineren Wert von $\alpha$ der Fall gewesen wäre.

Wenn $\alpha$ weiter ansteigt und erst gleich und dann größer als $1$ wird, sind die abnehmenden Erträge nicht mehr gültig. Dies deutet darauf hin, dass die Modellierung des technischen Fortschritts als Anstieg von $\alpha$ aus einem Grund problematisch ist, der noch tiefgreifender ist als der, der oben in Bezug auf die Frage, was passiert, wenn $h \lt 1$, genannt wurde: Die menschliche Gesellschaft erlebt nun schon seit Jahrhunderten einen technischen Fortschritt, und dennoch sind wir immer noch mit abnehmenden Erträgen für unsere Arbeit konfrontiert. Die Annahme, dass technologischer Wandel uns von der Konkavität der Produktionsfunktion befreien kann, ist einfach nicht sehr plausibel.

Die Modellierung des technischen Fortschritts als eine Veränderung von $A$ vermeidet dieses Problem. In diesem Fall steigt $y$ bei jeder gegebenen $h \gt 0$ und die Produktionsfunktion bleibt konkav: Die Eigenschaft des abnehmenden Grenzprodukts gilt weiterhin. Aus diesem Grund verwenden Ökonominnen und Ökonomen zur Modellierung des technologischen Wandels normalerweise $A$ und nicht $\alpha$.

Wir können den technologischen Wandel auf dieselbe Weise für jede Produktionsfunktion modellieren. Nehmen wir an, die Produktionsfunktion sei:

$$y=Af(h)$$

wobei $f$ eine beliebige steigende konkave Funktion ist, die für alle $h \gt 0$ positive Werte annimmt. Dann bedeutet eine Erhöhung des Parameters $A$, dass der Output für jedes Level von $h$ um den gleichen Anteil steigt.

Die Eigenschaft des abnehmenden Grenzprodukts bleibt auch in diesem allgemeinen Fall bei technologischem Wandel erhalten. Das Grenzprodukt der Arbeit (GPA) ist $Af'(h)$. Wenn sich also die Arbeitsstunden von $h_0$ auf $h_1$ ändern, ist die proportionale Änderung des GPA:

$$\frac{Af'(h_1) - Af'(h_0)}{Af'(h_0)} = \frac{f'(h_1) - f'(h_0)}{f'(h_0)}$$

die nicht von $A$ abhängt. Wenn $A$ also steigt, hat das keine Auswirkungen auf den proportionalen Rückgang des GPA, das durch eine Erhöhung der Stunden verursacht wird.

Lesen Sie mehr: Abschnitte 4.3 bis 7.3 von Malcolm Pemberton und Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4th ed. Manchester: Manchester University Press.