Leibniz 4.4.1

Die optimale Verteilung bei altruistischen Präferenzen finden

Für eine Einführung in die Leibniz-Abschnitte, lesen Sie bitte „Einführung in die Leibnize“.

Anil hat im Lotto gewonnen und muss entscheiden, was er mit seinen 10 000 INR machen soll. Er hat altruistische Präferenzen: Während er sich über das Geld freut, sorgt er sich auch um seinen Nachbarn Bala, der nichts gewonnen hat. Wir können die Technik der beschränkten Optimierung verwenden, um seine Entscheidung zu modellieren.

In Leibniz 3.5.1 haben wir die beschränkte Optimierung verwendet, um Alexeis Problem zu lösen: die Wahl der täglichen Freizeit $t$ und seiner Abschlussnote $y$, um seinen Nutzen $U(t,\ y)$ zu maximieren, und zwar unter Berücksichtigung dessen, was angesichts seiner Produktionsfunktion für die Abschlussnote machbar ist. Alexeis Problem lässt sich wie folgt ausdrücken:

$$\begin{align*} \text{Wahl von } t \text{ und } y \text{ um } U(t,\ y) \text{ zu maximieren,} \\ \text{vorbehaltlich der Beschränkung } y=f(24- t) \end{align*}$$

wobei $f$ seine Produktionsfunktion ist.

An Alexeis optimalem Punkt ist die Rate, zu der er Stunden Freizeit gegen Notenpunkte tauschen kann, gleich der Rate, zu der er sie tauschen will. Mit anderen Worten: Die Grenzrate der Transformation (GRT) ist gleich der Grenzrate der Substitution (GRS). Wir haben dies als Alexeis Bedingung erster Ordnung für die Optimierung bezeichnet.

Anils Problem kann ganz ähnlich formuliert werden. Auch er möchte seinen Nutzen maximieren, der von zwei Gütern abhängt: Geld für ihn selbst und Geld für Bala. Und er steht vor einer Beschränkung: Er hat nur 10 000 INR, die er zwischen sich und seinem Nachbarn aufteilen kann. Bezeichnen wir Anils Geld mit $x$, das von Bala mit $y$ und Anils Nutzenfunktion mit $U(x,\ y)$, dann lautet Anils Problem wie folgt:

$$\begin{align*} \text{Wähle } x \text{ und } y \text{ um }U(x,\ y) \text{ zu maximieren,} \\ \text{vorbehaltlich der Beschränkung } x + y = 10\ 000 \end{align*}$$

Die Gleichung $x + y = 10\ 000$ beschreibt die Machbarkeitsgrenze, entlang derer Anil seinen Lottogewinn aufteilen kann, wenn nichts von dem Geld verloren geht oder versteuert wird.

Wir haben zwei Methoden zur Lösung von beschränkten Optimierungsproblemen kennengelernt (siehe Leibniz 3.5.1). Die eine ist die Substitutionsmethode, bei der wir mit der Substitution von der Nebenbedingung in die Zielfunktion beginnen. Die andere Methode, die wir hier anwenden, besteht darin, die Bedingung erster Ordnung anzuwenden:

$$\text{GRT} = \text{GRS}$$

Sie können dies in Abbildung 4.5 des Textes sehen, die als Abbildung 1 wiedergegeben ist: die optimale Allokation $B$ liegt im Tangentialpunkt von Anils Indifferenzkurve und der Nebenbedingung (Machbarkeitsgrenze).

Wenn wir Anils Präferenzen (seine Nutzenfunktion) kennen würden, könnten wir das beschränkte Optimierungsproblem lösen, um den Punkt $B$ genau zu bestimmen. Nehmen wir an, er hat eine Cobb-Douglas-Nutzenfunktion der gleichen Form wie die von Alexei in Leibniz 3.5.1:

$$U(x,\ y) = x^\alpha y^\beta$$

wobei $\alpha$ und $\beta$ positive Konstanten sind. Die Grenznutzen von Anil werden wie üblich durch partielle Ableitungen ermittelt:

$$\frac{\partial U}{\partial x} = \alpha x^{\alpha -1} y^\beta = \frac{\alpha U}{x}, \quad \frac{\partial U}{\partial y} = \beta x^\alpha y^{\beta -1} = \frac{\beta U}{y}$$

Seine Grenzrate der Substitution (der absolute Wert der Steigung der Indifferenzkurve) ist das Verhältnis der Grenznutzen:

$$\text{GRS }= \left.\frac{\partial U}{\partial x}\middle/ \frac{\partial U}{\partial y} \right. = \left. \frac{\alpha U}{x} \middle/ \frac{\beta U}{y}\right. = \frac{\alpha y}{\beta x}$$

Die Grenzrate der Transformation ist der absolute Wert der Steigung der Machbarkeitsgrenze, $x + y = 10\ 000$. Wenn wir dies als $y = 10\ 000 - x$ schreiben, sehen wir, dass die Steigung $-1$ ist, also:

$$\text{GRT} = 1$$

Mit anderen Worten: Anil kann sein Geld im Verhältnis eins zu eins in Geld für Bala umwandeln. Wenn wir die GRS mit der GRT gleichsetzen, erhalten wir die Bedingung erster Ordnung für Anils optimale Wahl:

$$\alpha y = \beta x$$

Es gibt unendlich viele Punkte auf der $x—y$-Ebene, die diese Bedingung erfüllen—alle Punkte, bei denen die Steigung der Indifferenzkurve $-1$ ist, die auf einer Geraden durch den Ursprung liegen. Wir wollen aber den Punkt, der auf der Machbarkeitsgrenze liegt. Der optimale Punkt von Anil wird also durch die Lösung des Paares von Gleichungen gefunden:

$$x+y=10\ 000, \quad \beta x - \alpha y = 0$$

Sie können überprüfen (zum Beispiel, indem Sie die erste Gleichung als Substitut für $y$ in der zweiten Gleichung verwenden), dass die Lösung lautet:

$$x = \frac{10\ 000 \, \alpha}{\alpha +\beta}, \quad y = \frac{10\ 000 \, \beta}{\alpha +\beta}$$

Wenn Anils Präferenzen beispielsweise so sind, dass $\alpha =0,7$ und $\beta=0,3$, dann reduzieren sich diese Ausdrücke auf $x =7000$ und $y=3000$ wie im Text: Anil gibt 3000 INR an seinen Nachbarn Bala und behält 7000 INR für sich selbst.

Wir können die Lösung von Anils Problem in Form der Anteile am Lotteriegewinn schreiben, die an Anil beziehungsweise Bala gehen sollen:

$$\frac{x}{10\ 000} = \frac{\alpha}{\alpha +\beta}, \quad \frac{y}{10\ 000} = \frac{\beta}{\alpha +\beta}$$

Eine kurze Überprüfung der obigen Algebra sollte Sie davon überzeugen, dass die optimalen Aufteilungen $\alpha/(\alpha +\beta)$ und $\beta/(\alpha +\beta)$ bleiben, wenn $10\ 000$ durch eine beliebige andere positive Zahl ersetzt wird: Die Anteile des Lottogewinns, die Anil und Bala zugeteilt werden, sind unabhängig von seiner Höhe. Beachten Sie auch, dass wir mit dieser Antwort etwas tun können, was wir bisher nicht getan haben, nämlich eine Interpretation der Parameter $\alpha$ und $\beta$ der Nutzenfunktion von Anil geben. Je höher $\alpha$ im Verhältnis zu $\beta$ ist, desto wichtiger ist Anil sein eigenes Geld im Vergleich zu dem von Bala.

Eine weitere Eigenschaft, die Sie hier beobachten können, ist, dass nur das Verhältnis von $\alpha$ zu $\beta$ für Anils optimale Wahl relevant ist. Er würde die gleiche Wahl treffen, wenn $\alpha =70$ und $\beta=30$, denn seine Indifferenzkurven hätten genau die gleiche Form, obwohl die Skala, auf der der Nutzen gemessen wird, unterschiedlich wäre.

Diese Merkmale der Lösung sind die Folge davon, dass Anil eine Cobb-Douglas-Nutzenfunktion hat. Mit einer anderen Art von Nutzenfunktion könnte er das Geld in Abhängigkeit von der Höhe des Lottogewinns in unterschiedlich aufteilen.

Lesen Sie mehr: Sektionen 15.1, 17.1, 17.3 of Malcolm Pemberton und Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4th ed. Manchester: Manchester University Press.