Leibniz 5.4.2

Angelas Wahl der Arbeitsstunden

Für eine Einführung in die Leibniz-Abschnitte, lesen Sie bitte „Einführung in die Leibnize“.

Angela hat quasi-lineare Präferenzen für Arbeitszeit und Getreide. In diesem Leibniz analysieren wir die Entscheidungen, die sie als unabhängige Landwirtin trifft. Sie wählt ihre Arbeitszeit, um ihren Nutzen zu maximieren, wobei die Menge des produzierten Getreides über ihre Produktionsfunktion davon abhängt, wie viel sie arbeitet.

Angela ist eine Landwirtin, die ihren Tag zwischen Arbeit und Freizeit aufteilt. Durch ihre Arbeit produziert sie Getreide, das sie auch konsumiert. Ihre tägliche Freizeit wird mit $t$ bezeichnet und die Anzahl der Scheffel Getreide, die sie pro Tag verbraucht, mit $c$. Wir nehmen an, dass Angela quasi-lineare Präferenzen hat, die wie in Leibniz 5.4.1 durch die Nutzenfunktion dargestellt werden:

$$U(t,\ c) = v(t) + c$$

wobei die Funktion $v$ steigend und konkav ist. Denken Sie daran, dass ihre Grenzrate der Substitution (GRS) $v'(t)$ ist.

Nehmen wir an, dass die Menge an Getreide, die Angela pro Tag produzieren und konsumieren kann, $c$, in Abhängigkeit von ihrer freien Zeit $t$ ist:

$$c=g(t)$$

Mit anderen Worten, dies ist ihre Machbarkeitsgrenze. Beachten Sie, dass die Darstellung etwas anders ist als zuvor. Zuvor gingen wir von der Produktionsfunktion $f(h)$ aus, die das Produktionsergebnis mit den Arbeitsstunden in Beziehung setzt, so dass die Machbarkeitsgrenze $c=f(24-t)$ geschrieben wurde.

Da die Machbarkeitsgrenze nach unten abfallen muss, ist $g'(t)\lt0$. Der absolute Wert der Steigung der Grenze, die Grenzrate der Transformation (GRT), ist $-g'(t)$. Damit die Grenze die übliche konkave Form hat, die durch abnehmende Grenzerträge der Arbeitsstunden bestimmt wird, brauchen wir $g''(t)\lt0$.

Angelas Problem der beschränkten Optimierung besteht darin, $t$ und $c$ so zu wählen, dass $v(t) + c$ maximiert wird, und zwar unter der Einschränkung $c=g(t)$.

Die Bedingung erster Ordnung für das Optimum kann durch Anwendung der üblichen Formel $\text{GRT}=\text{GRS}$ (erinnern Sie sich an Leibniz 3.5.1) oder durch Substitution gefunden werden, was in diesem Fall bedeutet, $t$ so zu wählen, dass $v(t) + g(t)$ maximiert wird. So oder so, wir erhalten die Gleichung:

$$v'(t) + g'(t)=0$$

Da $v''(t)$ und $g''(t)$ beide negativ sind, ist die linke Seite eine abnehmende Funktion von $t$. Wir können ableiten, dass es nur einen Wert von $t$ gibt, der diese Gleichung erfüllt. Dies ist Angelas optimale Wahl der freien Zeit, die wir $t^*$ nennen. Die optimale Produktion und Konsum ergeben sich dann aus der Machbarkeitsgrenze: $c^* = g(t^*)$. Diese optimale Allokation ist in der folgenden Abbildung 1 als Punkt P dargestellt. Die blaue Kurve ist eine Indifferenzkurve und die rote Kurve ist die Machbarkeitsgrenze von Angela.

Ein Beispiel

Wir veranschaulichen die obige Analyse anhand konkreter Nutzen- und Produktionsfunktionen. Nehmen wir an, dass in Angelas quasi-linearer Nutzenfunktion $U(t,\ c) = v(t) + c,$ die Funktion $v(t)$ gegeben ist durch:

$$v(t) = 4\sqrt{t}$$

Dies ist ein Sonderfall des Beispiels eines quasi-linearen Nutzens, den wir in Leibniz 5.4.1 beschrieben haben: $U(t,\ c)= b t^\alpha+c$, wobei $b=4$ und $\alpha= 1/2$.

Angenommen, Angelas Produktionsfunktion ist $y=2\sqrt{2h}$, wobei $h$ die Arbeitsstunden sind. Wenn sie $24$ Stunden am Tag hat, die sie zwischen Arbeit und Freizeit aufteilen kann, ist $h + t =24$, und die Gleichung ihrer Machbarkeitsgrenze lautet $y=g(t) ,$ wobei:

$$g(t) = 2\sqrt{48 -2t}$$

Sie können überprüfen, dass diese Machbarkeitsgrenze fällt ($g'(t)\lt0$) und konkav ($g''(t)\lt0$) ist.

Wie oben können wir die Grenzraten der Transformation und Substitution aus den Ableitungen von $g$ und $v$ ermitteln:

$$\text{GRT} = -g'(t) = \frac{2}{\sqrt{48 -2t}}, \quad \text{GRS} = v'(t) = \frac{2}{\sqrt{t}}$$

$\\\\$Bei der optimalen Allokation ist $\text{GRT} = \text{GRS}$, also $48 -2t = t$. Angela entscheidet sich also für $16$ Stunden Freizeit pro Tag und für $8$ Stunden Arbeit. Aus der Produktionsfunktion ergibt sich, dass Angelas täglicher Konsum von Getreide $2\sqrt{2 \times 8} = 8$ Scheffel beträgt.

Lesen Sie weiter: Abschnitte 17.1 bis 17.3 von Malcolm Pemberton und Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4th ed. Manchester: Manchester University Press.