Leibniz 7.4.1

Isogewinnkurven und ihre Steigungen

Für eine Einführung in die Leibniz-Abschnitte, lesen Sie bitte „Einführung in die Leibnize“.

Der Gewinn eines Unternehmens ist die Differenz zwischen den Erlösen (dem Preis multipliziert mit der verkauften Menge) und den Gesamtkosten. Wenn wir die Kostenfunktion des Unternehmens, $C(Q)$, kennen, können wir seine Isogewinnkurven bestimmen - die Kombinationen von $P$ und $Q$, die den gleichen Gewinn ergeben. In diesem Leibniz-Artikel leiten wir die Gleichung einer Isogewinnkurve her, erklären ihren Verlauf und finden ihre Steigung.

Der wirtschaftliche Gewinn ist der Erlös abzüglich der Kosten. Für ein produzierendes Unternehmen wie Beautiful Cars hängt der Gewinn von der Menge des Outputs ($Q$) und dem Preis ($P$) ab, zu dem jede Einheit des Outputs verkauft werden kann. Wir bezeichnen den Gewinn wie bisher mit $\Pi$. Wenn die Kostenfunktion des Unternehmens $C(Q)$ ist, dann kann der Gewinn als Funktion von $P$ und $Q$ geschrieben werden:

$$\Pi = PQ - C(Q)$$

Die Isogewinnkurven sind eine Kurvenschar auf der $QP$-Ebene, von denen jede einem bestimmten Gewinnniveau entspricht. Die Gleichung einer Isogewinnkurve lautet:

$$PQ - C(Q) = k$$

wobei $k$ eine Konstante ist, die die Höhe des Gewinns angibt. Für jeden Wert von $k$ gibt es eine andere Kurve. Wir werden die Isogewinnkurven in einem Diagramm mit $P$ auf der vertikalen Achse darstellen, daher ist es hilfreich, diese Gleichung in eine Form umzuschreiben, die $P$ als Funktion von $Q$ ausdrückt:

$$P = \frac{C(Q) + k}{Q}$$

Diese Gleichung besagt, dass, wenn $k$ zunimmt, auch $P$ für jedes beliebige $Q$ zunimmt. Das bedeutet, dass in einem Diagramm, das die Familie der Isogewinnkurven abbildet, höhere Kurven höheren Gewinnniveaus entsprechen. Sie können dies in den Diagrammen im Text für Apfel-Zimt Cheerios (Abbildung 7.4) und Beautiful Cars (Abbildung 7.10) des Textes sehen, die hier als Abbildungen 1 und 2 wiedergegeben sind.

Wir erklären nun, warum die Isogewinnkurven für diese beiden Unternehmen den in diesem Diagramm gezeigten Verlauf haben. Die Gleichung der Isogewinnkurve, für den Gewinn $k$, kann geschrieben werden als:

$$P = \frac{C(Q)}{Q} + \frac{k}{Q}$$

oder äquivalent

$$P = \text{TDK} + \frac{k}{Q}$$

Betrachten wir zunächst den Fall, in dem $k = 0$ ist: die Kurve mit wirtschaftlichem Nullgewinn. Setzt man $k = 0$ in die obige Gleichung ein, so zeigt sich, dass die Kurve des wirtschaftlichen Nullgewinns die Kurve der Durchschnittskosten (TDK) ist. An allen Punkten unterhalb dieser Kurve im Diagramm würde das Unternehmen einen Verlust machen. Bei Apfel-Zimt Cheerios sind die Durchschnittskosten konstant: Jedes Pfund kostet 2 USD in der Produktion, unabhängig davon, ob die Gesamtmenge groß oder klein ist. Die Kurve des wirtschaftlichen Nullgewinns ist also eine horizontale Linie bei $P = 2$. Beautiful Cars hat eine U-förmige Durchschnittskostenkurve und damit eine U-förmige Kurve des wirtschaftlichen Nullgewinns.

Betrachten wir nun die Kurven, die positiven Gewinnniveaus entsprechen, $k\gt0.$ Dann drückt die Gleichung der Isogewinnkurve $P$ als die Summe von TDK und $k/Q$ aus. Beachten Sie, dass $k/Q$ hoch ist, wenn $Q$ klein ist, und

$$\frac{d}{dQ} \left( \frac{k}{Q} \right) = - \frac{k}{Q^2} \lt0, \quad \frac{d^2}{dQ^2} \left( \frac{k}{Q} \right) = \frac{2k}{Q^3} \gt0$$

also $k/Q$ ist eine abnehmende, konvexe Funktion von $Q$.

Die Form der Isogewinnkurven hängt von den Formen von $k/Q$ und der TDK-Kurve ab. Im Fall von Apfel-Zimt Cheerios ist dies besonders einfach. TDK ist eine horizontale Linie und die Gleichung der Isogewinnkurven lautet $P = 2+k/Q$. Die Isogewinnkurven sind also fallend und konvex, wie $k/Q$, wie wir in Abbildung 1 sehen.

Für Beautiful Cars ist die TDK-Kurve U-förmig und daher konvex, mit einem Minimum bei $Q = 40$ (Punkt B). Die Isogewinnkurve, die einem Gewinnniveau $k\gt0$ entspricht, muss dann ebenfalls konvex sein, da die Summe von zwei konvexen Funktionen immer konvex ist (die zweite Ableitung von $f(x) + g(x)$ ist $f''(x) + g''(x)$, die positiv ist, wenn $f''(x)$ und $g''(x)$ positiv sind).

Wenn $0\lt Q\lt40$, sind sowohl $C(Q)/Q$ als auch $k/Q$ abnehmende Funktionen von $Q$, sodass die Isogewinnkurve fallend ist. Wenn $Q$ groß ist, geht die Ableitung von $k/Q$ gegen Null, sodass die Steigung der Isogewinnkurve fast die gleiche ist wie die Steigung von $C(Q)/Q$ - die Isogewinnkurve steigt an (wie auch die TDK-Kurve). Daher ist die Isogewinnkurve für $k\gt0$ wie die TDK-Kurve U-förmig, mit einem Minimum bei einem positiven Wert von $Q$.

$Q^*$ sei der Wert von $Q$, bei dem das Minimum auftritt. Beachten Sie, dass $Q^*$ von $k$ abhängt. Wir wissen, dass alle Isogewinnkurven bis $Q = 40$ fallen, sodass $Q^* \gt 40$: Der Minimum auf einer Isogewinnkurve mit $k\gt0$ liegt rechts vom Minimum der Nullgewinnkurve. Ein ähnliches Argument zeigt, dass mit steigendem $k$ auch $Q^*$ zunimmt: Isogewinnkurven, die einem höheren Gewinnniveau entsprechen, haben ihren Minimum weiter rechts (Abbildung 2).

Wir haben nun erklärt, warum die Isogewinnkurven für Beautiful Cars U-förmig sind. Die andere Eigenschaft, die Sie in Abbildung 2 sehen können, ist, dass die Grenzkostenkurve durch die Minima der Isogewinnkurven verläuft. In Leibniz 7.3.1 haben wir bewiesen, dass dies für die TDK-Kurve (die Null-Isogewinnkurve) gilt, indem wir gezeigt haben, dass $\text{GK} - \text{TDK}$ immer das gleiche Vorzeichen hat wie die Steigung der TDK-Kurve. Wir verwenden nun den gleichen Ansatz für die Steigungen der anderen Isogewinnkurven.

Betrachten wir die Isogewinnkurve, die einem Gewinn von $k\gt0$ entspricht. Entlang dieser Kurve:

$$\frac{dP}{dQ} = \frac{d} {dQ} \left( \frac{C(Q)}{Q} \right) - \frac{k}{Q^2}$$

also $dP/dQ$ ist die Differenz zweier Terme, von denen der erste die Steigung der TDK-Kurve ist; wir haben in Leibniz 7.3.1 (unter Verwendung der Quotientenregel) gezeigt, dass diese $(\text{GK} - \text{TDK)}/Q$ ist. Außerdem wissen wir aus der Gleichung der Isogewinnkurve, dass $k/Q = P - \text{TDK}$ ist. Daraus folgt:

$$\frac{dP}{dQ} = \frac{\text{GK} - \text{TDK}}{Q} - \frac{P - \text{TDK}}{Q}$$

Vereinfacht man die rechte Seite, sieht man, dass:

$$\frac{dP}{dQ} = \frac{\text{GK} - P}{Q}$$

Diese Gleichung gibt die Steigung an jedem Punkt der Isogewinnkurve $P = \text{TDK}+ k/Q$ an. Wenn $Q$ klein ist, ist $P$ hoch—über den Grenzkosten GK—und die Kurve fällt. Wenn also $Q$ steigt, sinkt $P$; dies hält an, solange $P\lt \text{GK}$. Im Fall von Beautiful Cars erreichen wir schließlich einen Punkt, an dem $P = \text{GK}$ ist und an diesem Punkt sagt uns die Gleichung, dass die Steigung gleich Null ist: Wir haben einen Minimum der Isogewinnkurve erreicht. Die GK-Kurve hat durch diesen Punkt eine positive Steigung. Und jenseits dieses Punktes $\text{GK} \gt P$ und die Isogewinnkurve steigt ebenfalls an.

Was ist mit dem Fall der Apfel-Zimt Cheerios? Da die Kosten pro Einheit für ein Pfund Cheerios unabhängig von der Produktionsmenge 2 USD betragen, sind sowohl die Grenzkosten als auch die Durchschnittskosten 2 USD. Die Isogewinnkurve mit dem Wert Null ist nicht nur die TDK-Kurve, sondern auch die GK-Kurve. Die Gleichung jeder Isogewinnkurve kann als $P = \text{GK}+ k/Q$ geschrieben werden. Wenn also $k \gt 0$, dann $P \gt \text{GK}$, was bedeutet, dass die Steigung immer negativ ist. Wie in Abbildung 1 zu sehen ist, fallen alle positiven Isogewinnkurven, treffen aber nie auf die GK-Kurve.

Lesen Sie weiter: Kapitel 8 von Malcolm Pemberton und Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4th ed. Manchester: Manchester University Press.