Leibniz 7.5.1

Der gewinnmaximierende Preis

Für eine Einführung in die Leibniz-Abschnitte, lesen Sie bitte „Einführung in die Leibnize“.

Um den Gewinn zu maximieren, wählt Beautiful Cars einen Punkt auf der Nachfragekurve, an dem die Isogewinnkurve die Nachfragekurve tangiert. Wir haben dies grafisch gesehen und in diesem Leibniz-Artikel beweisen wir, dass der Tangentenpunkt optimal ist, indem wir das Gewinnmaximierungsproblem mathematisch lösen.

Die Nachfragekurve für Beautiful Cars ist fallend. Bei der Wahl des Preises weiß das Management des Unternehmens, dass es den Preis umso niedriger ansetzen muss, je mehr Autos sie verkaufen wollen. Im Text haben wir die Nachfragekurve als fallende gerade Linie gezeichnet, aber in der Realität ist es unwahrscheinlich, dass sie gerade verläuft. Hier drücken wir sie allgemeiner als Funktion aus. Der maximale Preis $P$, zu dem $Q$ Autos verkauft werden können, ist gegeben durch:

$$P=f(Q)$$

wobei $f$ eine monoton fallende Funktion ist ($f'(Q)\lt0$). Wenn wir die Nachfragebeziehung so schreiben, dass der Preis eine Funktion der Menge ist, nennen wir $f$ die inverse Nachfragefunktion. Wenn man sie umgekehrt schreibt, mit der Menge als Funktion des Preises, nennt man die Funktion Nachfragefunktion.

Der Gewinn von Beautiful Cars, $\Pi$, ist gleich dem Gesamterlös minus den Gesamtkosten:

$$\Pi = PQ - C(Q)$$

Das Unternehmen möchte den Preis und die Menge so festlegen, dass der Gewinn maximiert wird, wobei die Kaufenden bereit sein müssen, diesen Preis zu zahlen. Das Problem ist also folgendes:

$$\begin{align*}\text{wähle }Q \text{ und } P \text{ um }PQ - C(Q) \text{ zu maximieren, unter der Nebenbedingung }P = f(Q)\end{align*}$$

Der einfachste Weg, dieses Optimierungsproblem zu lösen, ist das Substitutionsverfahren. Wir verwenden die Nebenbedingung, um $P$ zu substituieren, was den Gewinn als Funktion von $Q$ allein ergibt:

$$\Pi= Qf(Q) - C(Q)$$

Um den Wert von $Q$ zu finden, der diese Funktion maximiert, leiten wir nach $Q$ (unter Verwendung der Produktregel, $\dfrac{d}{dQ}(Qf(Q)) =$ $f(Q) + Qf'(Q)$) ab:

$$\frac{d\Pi}{dQ} = f(Q) + Qf'(Q) - C'(Q)$$

Die Bedingung erster Ordnung für die Optimierung ist $d\Pi/dQ = 0$, die wie folgt umgeformt werden kann:

$$f'(Q)= \frac{C'(Q) - f(Q)}{Q}$$

Die gewinnmaximierende Menge, $Q^*$, erfüllt diese Gleichung. Wenn wir die spezifische Form der Funktionen $f(Q)$ und $C(Q)$ kennen würden, könnten wir versuchen, die Gleichung zu lösen, um $Q^*$ explizit zu finden. Der gewinnmaximierende Preis könnte dann berechnet werden als $P^*=f(Q^*)$.

Aber auch ohne die Funktionen zu kennen, können wir die Bedingung erster Ordnung interpretieren. Wir wissen, dass der optimale Wert von $Q$ auf der Nachfragekurve liegt, also $f(Q) = P$, und dass $C'(Q)$ die Grenzkosten (GK) sind. Die Bedingung erster Ordnung kann also geschrieben werden als:

$$f'(Q)= \frac{GK - P}{Q}$$

Die linke Seite dieser Gleichung ist die Steigung der Nachfragekurve. Wir haben in Leibniz 7.4.1 gezeigt, dass die rechte Seite die Steigung der Isogewinnkurve ist. Die Bedingung erster Ordnung besagt also, dass die gewinnmaximierende Wahl an einem Tangentialpunkt der Nachfragekurve mit der Isogewinnkurve liegt. Für Beautiful Cars ist dies der Punkt E in Abbildung 7.11, die nachstehend in Abbildung 1 wiedergegeben ist.

Beachten Sie, dass die linke Seite der Bedingung erster Ordnung, $f'(Q)$, negativ ist, sodass die rechte Seite ebenfalls negativ sein muss. Der gewinnmaximierende Punkt liegt auf dem fallenden Teil einer Isogewinnkurve, wo der Preis die Grenzkosten übersteigt.

Lesen Sie mehr: Abschnitte 6.4, 7.4, und 8.1 von Malcolm Pemberton und Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4th ed. Manchester: Manchester University Press.