Leibniz 7.6.1

Grenzerlös und Grenzkosten

Für eine Einführung in die Leibniz-Abschnitte, lesen Sie bitte „Einführung in die Leibnize“.

Eine Möglichkeit, den Preis und die Menge zu bestimmen, die den Gewinn eines Unternehmens wie Beautiful Cars maximieren, besteht darin, den Punkt zu finden, an dem die Nachfragekurve eine Tangente an eine Isogewinnkurve bildet. Das Leibniz stellt hier eine alternative Methode vor, bei der der Grenzerlös und die Grenzkosten des Unternehmens verwendet werden.

Erinnern Sie sich daran, dass der Gewinn von Beautiful Cars, $\Pi$, gleich dem Gesamterlös aus dem Verkauf von Autos abzüglich der Gesamtkosten für deren Herstellung ist:

$$\Pi = PQ - C(Q)$$

Die inverse Nachfragekurve, $P=f(Q)$, gibt uns den maximalen Preis $P$ an, zu dem $Q$ Autos verkauft werden können, sodass wir den Erlös als Funktion von $Q$ allein schreiben können, was wir die Erlösfunktion nennen und mit $R(Q)$ bezeichnen. Daraus folgt:

$$R(Q) = f(Q) \times Q$$

Der Erlös an einem beliebigen Punkt der Nachfragekurve kann grafisch als rotes Rechteck unter der Kurve dargestellt werden, wie in Abbildung 7.12a des Textes gezeigt, die als Abbildung 1 wiedergegeben ist.

Der obige Ausdruck für den Gewinn kann als Funktion des Outputs $Q$ geschrieben werden, und zwar als Differenz zwischen der Funktion Gesamterlös $R(Q)$ und Gesamtkosten $C(Q)$:

$$\Pi = R(Q) - C(Q)$$

Um den Wert von $Q$ zu finden, der den Gewinn maximiert, differenzieren wir nach $Q$, um die Bedingung erster Ordnung $d\Pi/dQ =0$ zu erhalten, die impliziert, dass:

$$R'(Q) = C'(Q)$$

Grenzkosten

Die Auswirkung auf die Gesamtkosten der Produktion einer zusätzlichen Einheit des Outputs. Sie entspricht der Steigung der Gesamtkostenfunktion in jedem Punkt.

Grenzerlös

Die Erhöhung der Einnahmen, die durch eine Erhöhung der Menge von Q auf Q + 1 erzielt wird.

Der Term $C'(Q)$ auf der rechten Seite der Gleichung sind die Grenzkosten (GK) des Unternehmens, das heißt die Rate, mit dem die Kosten bei steigendem Output zunehmen. In ähnlicher Weise ist $R'(Q),$ die Ableitung der Erlösfunktion, das heißt die Rate, mit dem der Erlös mit dem Output steigt, und wird als Grenzerlös (GE) bezeichnet. Die Bedingung erster Ordnung für die Gewinnmaximierung kann also wie folgt geschrieben werden:

$$\text{GE}=\text{GK}$$

Die Bedingung erster Ordnung besagt also, dass der Grenzerlös gleich den Grenzkosten ist, wenn $Q$ auf dem gewinnmaximierenden Niveau liegt.

Die Grenzkostenkurve (das heißt die Funktion $C'(Q)$) zeigt, wie sich die Grenzkosten bei einer Änderung des Outputs verändern. Im Fall von Beautiful Cars wissen wir, dass die Grenzkosten mit dem Output steigen, sodass die GK-Kurve steigend ist. In ähnlicher Weise ist die Funktion $R'(Q)=\text{GE}(Q)$ die Grenzerlöskurve, die zeigt, wie sich der Grenzerlös mit dem Output ändert. Im Text haben wir die GE-Kurve als fallend gezeichnet. Abbildung 1 gibt das mittlere Feld von Abbildung 7.12b aus dem Lehrbuch wieder und zeigt beide Kurven.

Die gewinnmaximierende Menge liegt an dem Punkt, an dem sich die beiden Kurven schneiden—im Punkt E in Abbildung 2, wo $R'(Q)=C'(Q)$. Da Beautiful Cars steigende GK und fallende GE hat, gibt es nur einen Schnittpunkt.

Im Punkt E produziert das Unternehmen 32 Autos. Wie in der interaktiven Abbildung 7.12b im Lehrbuch erläutert, können wir erkennen, dass dies gewinnmaximierend ist, da die Grenzkosten für die Produktion von mehr als 32 Autos höher wären als der erzielte Grenzerlös (GK > GE), während das Gegenteil der Fall wäre, wenn weniger als 32 Autos produziert würden.

Wären die Kurven jedoch anders verlaufen, hätte dieses Argument möglicherweise nicht funktioniert. Wenn die GK fallend wären (was vorkommen kann, wenn das Unternehmen Skaleneffekte hat) und die GE steigend (was ungewöhnlich wäre, aber bei einigen Nachfragefunktionen vorkommen kann), wäre der Schnittpunkt ein gewinnminimierender Punkt (versuchen Sie, die Kurven zu zeichnen und sich selbst zu erklären, warum das so sein muss).

Wenn wir eine Lösung $Q^*$ für die Bedingung erster Ordnung GK = GE finden, können wir im Allgemeinen sagen, dass dies die gewinnmaximierende Menge ist, wenn GK < GE, wenn $Q\lt Q^*$ und GK > GE, wenn $Q\gt Q^*$.

Die Beziehung zwischen den beiden Methoden

Wir zeigen nun, dass die oben abgeleitete Bedingung erster Ordnung für die Gewinnmaximierung, $\text{GE}=\text{GK}$, äquivalent ist zu der Bedingung erster Ordnung für die Gewinnmaximierung aus Leibniz 7.5.1. Wenn wir die Produktregel verwenden, um $R(Q) = Qf(Q)$ abzuleiten, sehen wir, dass:

$$\text{GE} = \frac{d}{dQ} (Qf(Q)) = f(Q) + Qf'(Q) = P+Qf'(Q)$$

Somit kann die Bedingung erster Ordnung $\text{GE} = \text{GK}$ folgendermaßen geschrieben werden:

$$P+Qf'(Q) = \text{GK}$$

Durch Umstellen,

$$f'(Q)= \frac{ \text{GK} -P}{Q}$$

was die Bedingung erster Ordnung von Leibniz 7.5.1 ist. Erinnern Sie sich, dass sie so interpretiert werden kann, dass die Steigung der Nachfragekurve gleich der Steigung der Isogewinnkurve ist.

Wir haben sehr unterschiedliche Diagramme gezeichnet, um die beiden Formen der Bedingung erster Ordnung zu veranschaulichen. GK = GE wird veranschaulicht, indem man die GK- und GE-Kurven einzeichnet und den Schnittpunkt findet. Die andere Form lässt sich veranschaulichen, indem man die Nachfrage- und die Isogewinnkurve einzeichnet und den Tangentialpunkt angibt.

Diese GK = GE-Methode ist bei der Analyse des Verhaltens von Unternehmen häufig nützlich. In empirischen Arbeiten ist es manchmal einfacher, eine Erlösfunktion zu schätzen als eine Nachfragefunktion. In Leibniz 7.8.1, wenn wir das Konzept der Nachfrageelastizität einführen, werden wir eine weitere nützliche Methode zur Formulierung der Bedingung erster Ordnung kennenlernen. Unabhängig von der verwendeten Methode sind die Bedingungen erster Ordnung jedoch äquivalent und die Lösung für die gewinnmaximierende Menge ist daher dieselbe.

Lesen Sie mehr: Abschnitte 6.4 und 8.1 von Malcolm Pemberton und Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4th ed. Manchester: Manchester University Press.