Leibniz 7.8.1

Die Preiselastizität der Nachfrage

Für eine Einführung in die Leibniz-Abschnitte, lesen Sie bitte „Einführung in die Leibnize“.

Die Preiselastizität der Nachfrage misst die Reaktion der nachgefragten Menge auf den Preis: Sie gibt die prozentuale Änderung der nachgefragten Menge an, wenn sich der Preis um 1 % ändert. In diesem Leibniz-Artikel definieren wir die Elastizität mit Hilfe der Infinitesimalrechnung und zeigen, wie die Preisentscheidungen eines Unternehmens von der Elastizität der Nachfrage abhängen.

Es gibt zwei Möglichkeiten, eine Nachfragefunktion zu schreiben. Bisher haben wir die Nachfrage nach Beautiful Cars mit Hilfe der inversen Nachfragefunktion beschrieben:

$$P = f(Q)$$

wobei $f(Q)$ der Preis ist, zu dem die Firma genau $Q$ Autos verkaufen kann. Um die Elastizität zu definieren, ist es bequemer, die Nachfragefunktion in ihrer direkten Form zu schreiben:

$$Q = g(P)$$

$g(P)$ ist die nachgefragte Menge nach Autos von Beautiful Cars, wenn der Preis $P$ ist. (Die Funktion $g$ ist die Umkehrfunktion von $f$; mathematisch können wir schreiben $g(P)=f^{-1}(P)$.)

Die Ableitung der Nachfragefunktion ist $dQ/dP=g'(P)$. Auf diese Weise lässt sich messen, wie stark sich die Nachfrage der Verbrauchenden $Q$ als Reaktion auf eine Preisänderung ändert. Es ist jedoch kein sehr nützliches Maß, da es von den Einheiten abhängt, in denen $P$ und $Q$ gemessen werden. Wir würden zum Beispiel eine andere Antwort erhalten, wenn der Preis in Euro statt in Dollar gemessen werden würde.

Stattdessen haben wir die Preiselastizität der Nachfrage im Text wie folgt definiert:

$$-\frac{\%\text{Änderung der nachgefragten Menge}}{\%\text{Preisänderung}}$$

Dies ist ein nützlicheres Maß für die Reaktion der Nachfrage auf den Preis. Aus der Definition ist ersichtlich, dass es unabhängig von den Einheiten ist, in denen gemessen wird. Sie hängt jedoch eng mit der Ableitung $g'(P)$ zusammen. Um dies zu verdeutlichen, nehmen wir an, der Preis ändert sich von $P$ auf $P + \Delta P$, wodurch sich die nachgefragte Menge von $Q=g(P)$ auf $Q + \Delta Q$ ändert. Die prozentuale Änderung des Preises ist $100 \Delta P/P$ und die prozentuale Änderung der Menge ist $100 \Delta Q/Q$. Setzt man diese in den Ausdruck für die Elastizität ein, erhält man:

$$-\frac{ \Delta Q}{Q} \left/ \frac{\Delta P}{P} \right. = -\frac{P}{Q} \, \frac{\Delta Q}{ \Delta P}$$

Wenn wir den Grenzwert dieses Ausdrucks als $\Delta P \to 0$ betrachten, erhalten wir die rechnerische Definition der Preiselastizität der Nachfrage, die wir wie im Text mit $\varepsilon$ bezeichnen:

$$\varepsilon = - \frac{P}{Q} \, \frac{ dQ}{dP}$$

Und da $Q=g(P)$, kann die Elastizität auch wie folgt geschrieben werden:

$$\varepsilon = -\frac{Pg'(P)}{g(P)}$$

Man beachte, dass der Wert der Elastizität normalerweise positiv ist, da die Ableitung der Nachfragefunktion nach dem Gesetz der Nachfrage negativ ist.

So definiert, entspricht $\varepsilon$ rechnerisch nur annähernd unserer ursprünglichen Definition der Elastizität als prozentualer Rückgang der nachgefragten Menge bei einem Preisanstieg von 1 %. Aber unter der vernünftigen Annahme, dass 1 % ein kleiner Betrag ist, ist es eine gute Annäherung und wir interpretieren es oft auf diese Weise.

Betrachten wir die Nachfragefunktion:

$$Q=100 P^{-0,8}$$

hier,

$$\varepsilon=-\frac{P}{Q}\,\frac{dQ}{dP} = -\frac{P}{100P^{-0,8}}\times -80P^{-1,8} = 0,8$$

In diesem speziellen Fall ist die Elastizität der Nachfrage konstant - sie ist an allen Punkten der Nachfragekurve gleich $0,8$.

Im Allgemeinen sind die Elastizitäten nicht konstant. Sie variieren, wenn wir uns entlang der Nachfragekurve bewegen. Das obige Beispiel veranschaulicht jedoch einen Sonderfall. Wenn die Form der Nachfragefunktion $Q = aP^{-c}$ ist, wobei $a$ und $c$ positive Konstanten sind, ist die Elastizität der Nachfrage $c$. Dies ist die einzige Klasse von Nachfragefunktionen, für die die Elastizität konstant ist.

Bedeutung der Elastizität in Bezug auf die Menge

Ein weiterer Ausdruck für die Nachfrageelastizität lässt sich durch Umkehrung der Nachfragefunktion $P=f(Q)$ gewinnen. Nach der Regel der Umkehrfunktion:

$$\frac{dP}{dQ} = 1 \left/ \frac{dQ}{dP} \right.$$

also

$$\varepsilon = - \frac{P}{Q} \left/ \frac{dP}{dQ} \right. = - \frac{f(Q)}{Qf'(Q)}$$

Ein zweites Beispiel: Nehmen wir an, Beautiful Cars hat die inverse Nachfragefunktion

$$P= 8000 - 80 Q$$

wie in Abbildung 7.15 des Lehrbuchs. Unter Verwendung des obigen Ausdrucks ist die Elastizität der Nachfrage:

$$\varepsilon=-\frac{8000 -80 Q}{Q\times -80} = \frac{100}{Q} - 1$$

Alternativ kann man die Elastizität auch in Form des Preises ausdrücken: $Q=\dfrac{8000-P}{80}$, also

$$\varepsilon= -\frac{P}{Q}\, \frac{dQ}{dP} = -\frac{80P}{8000 -P} \times -\frac{1}{80} = \frac{P}{8000 -P}$$

Jeder der beiden Ausdrücke für $\varepsilon$ zeigt, dass sie mit der Bewegung nach rechts entlang der Nachfragekurve fällt, wodurch $Q$ steigt und $P$ sinkt. Dies gilt für jede lineare Nachfragefunktion, ebenso wie das Ergebnis, dass $\varepsilon$ sich $0$ nähert, wenn $P$ sich $0$ nähert und $\varepsilon$ sich $\infty$ nähert, wenn $P$ sich seinem Maximalwert nähert, bei dem $Q=0$. Wenn Beautiful Cars also nur zwei Autos pro Tag zu einem Preis von 7840 USD verkauft, beträgt die Elastizität der Nachfrage 49; wenn das Unternehmen dagegen 95 Autos pro Tag verkauft und nur 400 USD pro Auto verlangt, ist $\varepsilon=0,053$ auf drei Dezimalstellen genau.

Elastizität und Grenzerlös

Wir haben in Leibniz 7.6.1 gesehen, dass, wenn die inverse Nachfragefunktion von Beautiful Cars $f(Q)$ ist, ist ihre Erlösfunktion

$$R(Q) = Qf(Q)$$

und dass der Grenzerlös (GE) wie folgt definiert ist:

$$\text{GE} = R'(Q) = f(Q) + Qf'(Q)$$

Wenn man diesen Ausdruck mit Hilfe der Formel $\varepsilon=-\dfrac{f(Q)}{Qf'(Q)}$ umschreibt und die Tatsache nutzt, dass $P=f(Q)$ ist, sieht man, dass eine Beziehung zwischen Grenzerlös und Nachfrageelastizität besteht:

$$\text{GE} = f(Q) - \frac{f(Q)}{\varepsilon} = P\left(1 - \frac{1}{\varepsilon}\right)$$

Dies bedeutet, dass der Grenzerlös positiv ist, wenn $\varepsilon\gt1$, und negativ, wenn $\varepsilon\lt1$.

Wie im Text erwähnt, ist die Nachfrage elastisch, wenn $\varepsilon\gt1$ und unelastisch, wenn $\varepsilon\lt1$. Das zweite Beispiel zeigt, dass die Nachfrage an verschiedenen Punkten ein und derselben Nachfragekurve elastisch und unelastisch sein kann. Wir haben soeben gezeigt, dass der Grenzerlös nur dann positiv ist, wenn das Unternehmen auf dem Teil der Nachfragekurve tätig ist, auf dem die Nachfrage elastisch ist. Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn das Unternehmen den Gewinn maximiert und daher den Output so wählt, dass Grenzerlös und Grenzkosten gleich sind, da die Grenzkosten positiv sind.

Der Preisaufschlag

Aus Leibniz 7.6.1 wissen wir, dass die Bedingung erster Ordnung für die Gewinnmaximierung $\text{GE} = \text{GK}$ ist, wobei $\text{GK}$ die Grenzkosten sind. Unter Verwendung der Formel für den Grenzerlös, die wir gerade abgeleitet haben, können wir die Bedingung erster Ordnung wie folgt schreiben:

$$(\varepsilon -1)P = \varepsilon \, \text{GK}$$

Durch Umstellen,

$$\frac{P - \text{GK}}{P} = \frac{1}{\varepsilon}$$

Die linke Seite dieser Gleichung ist der Preisaufschlag des Unternehmens, das heißt die Gewinnmarge $P-\text{GK}$ im Verhältnis zum Preis. Die Gleichung besagt, dass der Preisaufschlag (am Punkt der Gewinnmaximierung) umso größer ist, je geringer die Elastizität der Nachfrage ist. Beträgt die Nachfrageelastizität im Optimum beispielsweise $5$, so ergibt sich ein Preisaufschlag von $20\%$, während eine Nachfrageelastizität von $1,25$ bedeutet, dass der Preisaufschlag $80\%$ beträgt, so dass das Unternehmen den Preis auf das Fünffache der Grenzkosten festsetzen wird. Die umgekehrte Beziehung zwischen dem Preisaufschlag und der Preiselastizität der Nachfrage wird durch die Abbildungen 7.16 und 7.17 des Textes veranschaulicht, die im Folgenden als Abbildung 1 wiedergegeben werden.

Elastizität im Allgemeinen

Die Elastizität ist ein allgemeines mathematisches Konzept, das unseres Wissens jedoch nur von Ökonominnen und Ökonomen verwendet wird. Angenommen, wir haben eine differenzierbare Funktion $y=F(x)$, wobei $x$ und $y$ nur positive Werte annehmen. Die Elastizität von $y$ in Bezug auf $x$ kann definiert werden als:

$$\frac{x}{y} \, \frac{dy}{dx} = \frac{xF'(x)}{F(x)}$$

Dies ist der Grenzwert des Verhältnisses

$$\frac{\%\text{Änderung in } y}{\%\text{Änderung in } x}$$

wenn der Nenner gegen Null geht. Eine Alternative, die wir im Fall der Preiselastizität der Nachfrage verwendet haben, besteht darin, die Elastizität als den absoluten Wert dieser Grenze zu definieren.

Lesen Sie mehr: Abschnitte 6.4 und 7.4 von Malcolm Pemberton und Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4th ed. Manchester: Manchester University Press.