Leibniz 8.5.1

Nutzen aus Handel

Für eine Einführung in die Leibniz-Abschnitte, lesen Sie bitte „Einführung in die Leibnize“.

Kaufende und Verkaufende nehmen an einem Markt teil, weil sie Nutzen daraus ziehen, wobei die Konsumentenrente und die Produzentenrente ein Maß für diesen Nutzen aus dem Handel sind. Hier zeigen wir, wie man die Renten mathematisch berechnet, und beweisen dass die Allokation im Wettbewerbsgleichgewicht den Nutzen aus dem Handel maximiert.

Wir haben die Wohlfahrtsgewinne auf dem Markt für Brot in einer Stadt anhand der Abbildung 8.9a beschrieben, die im Folgenden als Abbildung 1 wiedergegeben wird. Die Rente, welche die Verbrauchenden erzielen, wird durch die Fläche unterhalb der Nachfragekurve und oberhalb der horizontalen Linie in Höhe des Marktpreises dargestellt. Die Rente der Produzierenden ist die Fläche oberhalb der Angebotskurve und unterhalb der horizontalen Preislinie. Die Summe dieser beiden Flächen ist die gesamte Wohlfahrt, das heißt der Nutzengewinn aus dem Handel auf diesem Markt.

Um diesen mathematisch zu bestimmen, nehmen wir an, dass die Nachfrage nach Brot durch die inverse Nachfragefunktion $P=f(Q)$ beschrieben wird, wobei $P$ der Preis und $Q$ die Anzahl der Brote ist. Unter der üblichen Annahme, dass Nachfragekurven abwärts geneigt sind (Gesetz der Nachfrage), ist $f$ eine fallende Funktion. Denken Sie daran, dass die Nachfragefunktion die Zahlungsbereitschaft für Brot angibt. Wenn die Verbrauchenden in der Reihenfolge ihrer Zahlungsbereitschaft für ein Brot aufgereiht sind, dann ist die $q^{te}$ verbrauchende Person bereit, $P = f(q)$ zu zahlen. Jede kaufende Person, deren Zahlungsbereitschaft für ein Gut höher ist als der Marktpreis, erhält eine Rente. Nehmen wir an, dass der Marktpreis für einen Laib Brot $P_0$ beträgt, dann ist die Rente der $q^{ten}$ verbrauchenden Person $f(q) - P_0$. Im Diagramm ist dies der vertikale Abstand bei der Menge $q$ zwischen der Nachfragekurve und der horizontalen Linie beim Marktpreis.

Die Konsumentenrente ergibt sich aus der Addition der Renten aller Verbrauchenden, die Brot zu diesem Preis kaufen. Da wir die Nachfrage mit einer kontinuierlichen Funktion beschrieben haben (wir haben es nicht mit einer diskreten Anzahl von Broten zu tun), verwenden wir die Integration, um die individuellen Renten zu summieren. Angenommen, der Preis ist $P_0$ und die gesamte verkaufte Menge ist $Q$. Dann müssen wir die Differenz $(f(q)-P_0)$ an allen Punkten der Nachfragekurve zwischen $q=0$ und $q=Q$ aufaddieren:

$$\mbox{Konsumentenrente} = \int_0^Q (f(q) - P_0) \, dq = \int_0^Q f(q) \, dq - P_0Q = F(Q) - P_0Q$$

In diesem Ausdruck haben wir die Notation $F(Q)$ für die Verteilungsfunktion eingeführt, um das Integral der Funktion $f$ zu bezeichnen. Das heißt, die Fläche unter der Nachfragekurve für Mengen zwischen 0 und $Q$. Nach dem Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung bedeutet dies:

$$F'(Q) = f(Q)$$

Aus dem Gesetz der Nachfrage folgt, dass $F'$ eine abnehmende Funktion ist, also ist $F$ eine konkave Funktion.

Die rot schraffierte Fläche in Abbildung 1 zeigt die Wohlfahrt der Verbrauchenden für den Fall, dass sich der Markt im Gleichgewicht befindet, mit $P_0 = 2$ und $Q = 5000$. Es ist die Fläche des annähernd dreieckigen Bereichs, der durch die Nachfragekurve, die vertikale Achse und die horizontale Linie $P=P_0$ begrenzt wird. (Mit ‚annähernd dreieckig‘ meinen wir, dass die Region ein Dreieck wäre, wenn die Nachfragekurve eine Gerade wäre.)

Wir können die Wohlfahrt der Produzierenden auf ähnliche Weise berechnen. Erinnern Sie sich aus Leibniz 8.4.1 daran, dass die inverse Angebotskurve die Grenzkostenkurve der Brotproduktion in diesem Markt ist. Wenn wir die Gesamtkosten der Bäckereien für die Produktion einer Menge $Q$ Brot mit $C(Q)$ ansetzen, dann sind die Grenzkosten $C'(Q)$ und $P=C'(Q)$ ist die Gleichung der inversen Angebotsfunktion des Marktes.

Wir nehmen wie im Text an, dass $C'(Q)$ positiv ist und mit $Q$ steigt, was bedeutet, dass $C$ eine steigende, konvexe Funktion ist. Wir werden auch annehmen, dass $C(0) = 0$ ist, in diesem Fall können wir schreiben:

$$C(Q) = \int_0^Q C'(q) \, dq$$

gemäß des Fundamentalsatzes der Infinitesimalrechnung. Diese Gleichung besagt, dass die Gesamtkosten $C(Q)$ die Fläche unter der Grenzkostenkurve für Mengen kleiner als oder gleich $Q$ sind. Wäre $C(0)$ nicht Null, würde man stattdessen sagen, dass die Fläche unter der Grenzkostenkurve den gesamten variablen Kosten entspricht, das heißt den Gesamtkosten ohne die Fixkosten, die auch dann anfallen, wenn die Bäckereien kein Brot produzieren.

Wenn eine Bäckerei den $q^{ten}$ Laib Brot zum Preis $P_0$ verkauft, beträgt ihre Wohlfahrt aus dieser Transaktion $P_0$ abzüglich der Kosten für die Produktion dieses Laibes, $C'(q)$. Beträgt die Gesamtzahl der produzierten und zum Preis $P_0$ verkauften Brote $Q$, so ist die Produzentenrente die Summe der Wohlfahrt der einzelnen Brote:

$$\mbox{Produzentenrente} = \int_0^Q (P_0 - C'(q)) \, dq = P_0 Q - \int_0^Q C'(q) \, dq = P_0 Q - C(Q)$$

Aus diesem Ausdruck ist ersichtlich, dass unter unserer Annahme $C(0) = 0$ die Produzentenrente dem Gewinn des Unternehmens entspricht. Hätte das Unternehmen auch Fixkosten, wäre der Gewinn gleich der Produzentenrente abzüglich der Fixkosten.

Der violett schraffierte Bereich in Abbildung 1 zeigt die Produzentenrente im Falle eines Marktgleichgewichts mit $P_0 = 2$ und $Q = 5000$. Es handelt sich um die Fläche des etwa dreieckigen Bereichs, der durch die Angebotskurve, die vertikale Achse und die horizontale Linie $P = P_0$ begrenzt wird.

Die Ausdrücke für die Konsumentenrente $F(Q)-P_0Q$ und die Produzentenrente $P_0Q-C(Q)$ geben den Wert der Konsumentenrente für einen beliebigen Preis $P_0$ und eine beliebige Menge $Q$ an; sie gelten unabhängig davon, ob der Preis dem Gleichgewichtspreis des Marktes entspricht oder nicht. Abbildung 2 zeigt die Konsumentenrente und die Produzentenrente für den allgemeinen Fall eines beliebigen Preises $P_0$ und einer beliebigen Menge $Q$.

Maximierung von Konsumentenrente und Produzentenrente

Da die Konsumentenrente und die Produzentenrente den Nutzen aus dem Handel messen, ist es nützlich zu wissen, unter welchen Bedingungen sie so groß wie möglich sind. Betrachten wir zunächst unseren Ausdruck für die Konsumentenrente, die wir $KR$ nennen werden:

$$KR = F(Q) - P_0Q$$

Für einen gegebenen Preis $P_0$ kann die Menge $Q$, die die Konsumentenrente maximiert, gefunden werden, indem die Ableitung von $KR$ Null gesetzt wird:

$$F'(Q) = P_0$$

Da $F(Q)$ konkav ist, ist die zweite Ableitung von $KR$ negativ, was bestätigt, dass diese Bedingung einen Maximalpunkt ergibt.

Diese Gleichung besagt, dass $KR$ bei einem Preis von $P_0$ maximiert ist, wenn die verkaufte Menge auf der Nachfragekurve bei $P_0$ liegt, das heißt wenn alle Verbrauchenden, deren Zahlungsbereitschaft größer oder gleich $P_0$ ist, am Handel teilnehmen. Wenn weniger Parteien am Markt teilnehmen, bleiben Vorteile des Handels ungenutzt; würden andere Verbrauchende Brot kaufen, würden sie einen negativen Nutzen erhalten, wodurch die gesamte Konsumentenrente sinkt.

Auf genau dieselbe Weise kann man zeigen, dass die Produzentenrente

$$PR = P_0Q-C(Q)$$

maximiert wird, wenn

$$P_0 =C'(Q).$$

Unabhängig vom Preis maximieren die produzierenden Personen also ihre Wohlfahrt, wenn die Grenzkosten des Brotes gleich dem Preis sind.

Maximierung der gesamten Wohlfahrt

Die Summe aus Produzenten- und Konsumentenrente ist die gesamte Wohlfahrt. Wenn der Preis $P_0$ ist und die verkaufte Menge $Q$ ist:

$$N(Q) = F(Q) - P_0 Q + P_0 Q - C(Q)$$ $$\text{Gesamte Wohlfahrt} = \text{Konsumentenrente} +\text{Produzentenrente}$$

Die gesamte Wohlfahrt kann vereinfacht werden zu:

$$N(Q) = F(Q) - C(Q)$$

Man beachte, dass die gesamte Wohlfahrt nur von der verkauften Menge abhängt. Unabhängig vom Preis ist der für Brot gezahlte Betrag für die Verbrauchenden ein Verlust und für die Unternehmen ein Gewinn in gleicher Höhe, sodass sich die beiden Beträge bei der Ermittlung der gesamten Wohlfahrt des Marktes aufheben.

Um die Menge $Q^*$ zu finden, die die gesamte Wohlfahrt maximiert, setzen wir die Ableitung von $N(Q)$ Null. Dann ist $Q^*$ die Menge, die diese Gleichung erfüllt:

$$F'(Q^*) =C'(Q^*)$$

Um sicher zu sein, dass $Q^*$ wirklich $N$ maximiert, müssen wir die zweite Ableitung betrachten. Erinnern Sie sich daran, dass $F$ konkav ist und $C$ konvex ist. Die zweite Ableitung von $F$ ist also negativ und die zweite Ableitung von $C$ ist positiv. Wir können rückschließen, dass die zweite Ableitung von $N$ negativ ist, und dass $Q^*$ einem Maximalpunkt entspricht.

Da $F'(Q^*) =f(Q^*)$, sagt uns diese Gleichung, dass $Q^*$ an dem Punkt liegt, an dem die inverse Nachfragekurve $P=f(Q)$ auf die inverse Angebotskurve $P=C'(Q)$ trifft. $Q^*$ ist die Menge, bei der sich Nachfrage- und Angebotskurve kreuzen. Dies ist die Menge, die erreicht wird, wenn sich der Markt im Wettbewerbsgleichgewicht befindet. Wir haben also bewiesen, dass bei einer Allokation im Wettbewerbsgleichgewicht, bei dem der Markt zum Gleichgewichtspreis $P^* = f(Q^*) =C'(Q^*)$ räumt, die verkaufte Menge den gesamten Handelsgewinn maximiert.

Lesen Sie weiter: Abschnitte 8.4 und 19.1 von Malcolm Pemberton und Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4th ed. Manchester: Manchester University Press.