Leibniz 8.6.1

Verschiebungen von Angebot und Nachfrage

Für eine Einführung in die Leibniz-Abschnitte, lesen Sie bitte „Einführung in die Leibnize“.

Der Preis und die Menge des Marktgleichgewichts liegen im Schnittpunkt der Angebots- und Nachfragekurve. Tritt ein Schock ein, der eine der beiden Kurven verschiebt, so ändern sich sowohl der Gleichgewichtspreis als auch die Gleichgewichtsmenge. In diesem Leibniz zeigen wir, wie man die Auswirkungen eines Angebots- oder Nachfrageschocks mathematisch modellieren kann.

Um das Marktgleichgewicht von Preis und Menge in einem Markt zu finden, müssen wir ein Paar simultaner Gleichungen - die Nachfragekurve $Q=Q^D(P)$ und die Angebotskurve $Q=Q^S(P)$ - für P und Q lösen. Im Marktgleichgewicht gleicht der Preis Angebot und Nachfrage aus:

$$Q^D(P)=Q^S(P)$$

Wie wir in Leibniz 8.4.2 gesehen haben, können wir, wenn wir die Nachfrage- und Angebotsfunktionen kennen, durch Lösen dieser Gleichung den Gleichgewichtspreis und damit die Gleichgewichtsmenge finden. Was aber geschieht, wenn sich eine dieser Funktionen ändert?

Betrachten wir den in Leibniz 8.4.2 analysierten Fall eines Marktes, auf dem sowohl die Angebots- als auch die Nachfragefunktion linear sind:

$$Q^D(P)=a-bP, \quad Q^S(P)=c+dP$$

wobei $a, b, c, d$ Konstanten sind. Nehmen wir wie zuvor an, dass a, b und d alle positiv sind, wodurch sichergestellt wird, dass die Nachfragekurve steigt und die Angebotskurve fällt; daher gibt es höchstens einen Gleichgewichtspreis. Unter der Voraussetzung, dass $a \gt c$ und $ac + bd \gt 0$, haben wir zuvor gezeigt, dass es einen positiven Gleichgewichtspreis $P^*$ und eine positive Gleichgewichtsmenge $Q^*$ gibt, gegeben durch:

$$P^*=\frac{a-c}{b+d}, \quad Q^*= a-bP^* = \frac{ad+bc}{b+d}$$

Nehmen wir an, dass auf diesem Markt ein positiver Schock bei der Nachfrage auftritt. Die nachgefragte Menge ist nun bei jedem gegebenen Preis höher. Wir können einen Nachfrageschock als eine Änderung $\Delta a$ des Parameters a modellieren. Die neue Nachfragekurve lautet $Q=a+\Delta a-bP$, wobei $\Delta a \gt 0$ einem positiven Schock entspricht. $\Delta a \lt 0$ würde einen negativen Schock bedeuten, bei dem die nachgefragte Menge bei jedem Preis sinkt.

Um den neuen Gleichgewichtspreis und die neue Gleichgewichtsmenge zu finden, könnten wir wieder $P^*$ und $Q^*$ lösen und dabei die neue Nachfragekurve verwenden. Es ist jedoch schneller und einfacher, sich auf die obigen Lösungen für $P^*$ und $Q^*$ zu konzentrieren und herauszufinden, wie sie sich ändern, wenn sich a ändert:

$$\Delta P^*=\frac{\Delta a}{b+d}, \quad \Delta Q^*= \frac{d\Delta a}{b+d}$$

Wenn Sie sich nicht sicher sind, woher diese Ergebnisse kommen, können Sie sie durch Aufschreiben eines Zwischenschritts erhalten. Zum Beispiel ist die Änderung von $P^*$ gegeben durch:

$$\Delta P^*=\frac{a+\Delta a-c}{b+d}-\frac{a-c}{b+d}=\frac{\Delta a}{b+d}$$

Aus den Ausdrücken für $\Delta P^*$ und $\Delta Q^*$ ist sofort ersichtlich, dass ein Anstieg der Nachfrage ($\Delta a \gt 0$) sowohl den Gleichgewichtspreis als auch die Gleichgewichtsmenge erhöht. Steigt die nachgefragte Menge zu einem beliebigen Preis um eine Einheit ($\Delta a = 1$), so beträgt der Anstieg der nachgefragten und der angebotenen Menge im Gleichgewicht $d/(b+d)$, was positiv, aber kleiner als $1$ ist. Der Nachfrageanstieg führt also dazu, dass die Verbrauchenden mehr kaufen, aber er erhöht auch den Preis und die Verbrauchenden kaufen weniger, als sie es ohne die Preisänderung getan hätten.

Der Nachfrageschock, den wir hier analysiert haben, ähnelt dem Beispiel eines Anstiegs der Nachfrage nach Büchern in Abbildung 8.11, die als Abbildung 1 unten wiedergegeben ist. Die Angebots- und Nachfragefunktionen für Bücher sind linear und das Diagramm zeigt, dass sich die Nachfragekurve nach rechts verschiebt und sowohl der Gleichgewichtspreis als auch die Gleichgewichtsmenge steigen, wenn die Anzahl der Bücher bei jedem Preis steigt. Der einzige Unterschied besteht darin, dass eine Änderung $\Delta a$ des Parameters a eine Parallelverschiebung der Nachfragekurve bewirkt, während sich in Abbildung 1 auch die Steigung ändert.

Im Text haben wir auch ein Beispiel für einen positiven Angebotsschock betrachtet. Eine technologische Verbesserung, die es Bäckereien ermöglichte, mehr zu einem niedrigeren Preis zu produzieren. Wir haben dies in Abbildung 8.12 dargestellt, die unten als Abbildung 2 wiedergegeben ist. (Die Angebots- und Nachfragekurven in diesem Diagramm sind nicht linear, aber das Lösungsprinzip bleibt das gleiche). Wenn die Grenzkosten des Backens sinken, verschiebt sich die Angebotskurve der Bäckereien nach unten, und das neue Gleichgewicht des Marktes liegt bei Punkt B.

Ein solcher Angebotsschock bedeutet, dass die Bäckereien bereit sind, zu einem bestimmten Preis mehr Brot zu liefern. Der Schock kann in unserem linearen Beispiel durch eine Änderung $\Delta c \gt 0$ des Parameters c dargestellt werden. (Auch hier würde $\Delta c \lt 0$ bedeuten, dass die Unternehmen bei jedem Preis weniger Brot anbieten würden.) Die Auswirkungen einer solchen Änderung auf den Gleichgewichtspreis und die Gleichgewichtsmenge sind wie folgt:

$$\Delta P^*= - \frac{\Delta c}{b+d}, \quad \Delta Q^*= \frac{b\Delta c}{b+d}$$

(Schreiben Sie wie bisher den Zwischenschritt auf, wenn Sie nicht sicher sind, wie Sie zu diesen Ergebnissen kommen).

In diesem Fall können wir schlussfolgern, dass, da $\Delta c \gt 0$, die Wirkung des Schocks darin besteht, die Menge zu erhöhen und den Preis zu senken—wie in Abbildung 2 zu sehen ist.

Der nicht-lineare Fall

Wenn die Nachfrage- und Angebotskurven nichtlinear sind, kann es schwierig sein, eine explizite Lösung für den Gleichgewichtspreis und die Gleichgewichtsmenge zu finden. Dennoch ist es möglich, die Auswirkungen eines Schocks zu modellieren, der eine der Kurven verschiebt und zu berechnen, wie er sich auf das Gleichgewicht auswirkt. Im Text haben wir dies für das Beispiel des Brotmarktes schematisch dargestellt. Hier machen wir das Gleiche algebraisch.

Wir schreiben die Nachfragekurve für Brot als $Q=Q^D(P,\ a)$. Die nachgefragte Menge nimmt wie zuvor mit dem Preis P ab; sie hängt aber auch von einem Parameter a ab, der den Geschmack der Verbrauchenden erfasst. Ein hoher Wert von a steht für eine Situation, in der die Verbrauchenden eine starke Vorliebe für Brot haben, sodass sie zu jedem beliebigen Preis eine große Menge kaufen wollen. Wenn a niedrig ist, wird bei jedem Preis weniger Brot nachgefragt. Die Abhängigkeit der Nachfrage von P und a kann durch die partiellen Ableitungen beschrieben werden:

$$\frac{\partial Q^D}{\partial P} \lt 0; \quad \frac{\partial Q^D}{\partial a} \gt 0$$

Dann kann ein positiver Nachfrageschock als eine Erhöhung des Parameters a dargestellt werden. Er bewirkt, dass die nachgefragte Menge zu jedem Preis steigt. Wenn die Nachfragekurve wie üblich im $(Q,\ P)$-Raum gezeichnet wird, wird sie für einen festen Wert von a gezeichnet. Ein Anstieg von a verschiebt die Nachfragekurve nach rechts. In ähnlicher Weise stellt ein Rückgang von a einen negativen Nachfrageschock dar und verschiebt die Kurve nach links.

Auf die gleiche Weise schreiben wir die Angebotskurve für Brot als $Q=Q^S(P,\ c)$, wobei der Parameter c eingeführt wird, um Angebotsschocks zu modellieren. Wir können uns c als die Technologie repräsentierend vorstellen. Ein Anstieg von c entspricht einer technologischen Verbesserung, welche die Grenzkosten der Brotherstellung senkt und somit dazu führt, dass die Bäckereien mehr Brot zu einem bestimmten Preis anbieten. In Form von partiellen Ableitungen:

$$\frac{\partial Q^S}{\partial P} \gt 0; \quad \frac{\partial Q^S}{\partial c} \gt 0$$

Eine Verbesserung der Technologien wird als Anstieg von c modelliert, wodurch sich die Angebotskurve nach rechts verschiebt. Dies ist der Fall, der in Abbildung 2 dargestellt ist.

Für jedes gegebene a und c ist die Nachfragekurve abwärtsgerichtet und die Angebotskurve aufwärtsgerichtet im $(Q,\ P)$-Raum. Es gibt also höchstens einen Gleichgewichtspreis $P^*,$ und eine entsprechende Gleichgewichtsmenge $Q^*.$ Ändern sich jedoch a und c, so ändern sich auch $P^*$ und $Q^*$. Also hängen $P^*$ und $Q^*$ von a und c ab und wir können dies ausdrücken, indem wir sie als Funktionen schreiben:

$$P^* = F(a,\ c), \quad Q^* = G(a,\ c)$$

Wir wollen wissen, wie sich $P^*$ und $Q^*$ ändern, wenn sich a und c ändern. Mit anderen Worten, wir wollen die Vorzeichen der partiellen Ableitungen von $P^*$ und $Q^*$ in Bezug auf a und c wissen. Um sie zu finden, verwenden wir die Technik der impliziten Differenzierung. Wir beginnen mit den partiellen Ableitungen in Bezug auf a. Diese geben Aufschluss über die Auswirkungen eines Nachfrageschocks auf das Gleichgewicht.

Der Gleichgewichtspreis $P^*$ erfüllt die Markträumungsgleichung:

$$Q^D(P^*,\ a)=Q^S(P^*,\ c)$$

Wir differenzieren beide Seiten dieser Gleichung nach a, wobei wir uns daran erinnern, dass $P^*$ eine Funktion von a ist (das heißt $P^* = F(a,\ c)$). Wir erhalten:

$$\frac{\partial Q^D}{\partial P} \frac{\partial P^*}{\partial a}+ \frac{\partial Q^D}{\partial a} =\frac{\partial Q^S}{\partial P} \frac{\partial P^*}{\partial a}$$

Diese Gleichung kann umgeformt werden, um $\partial P^*/\partial a$ in Abhängigkeit von den anderen partiellen Ableitungen zu schreiben:

$$\frac{\partial P^*}{\partial a} =\frac{\frac{\partial Q^D}{\partial a}} {\frac{\partial Q^S}{\partial P}-\frac {\partial Q^D}{\partial P} }.$$

Der Nenner dieses Bruchs ist positiv, weil wir wissen, dass $\partial Q^S/\partial P \gt 0$ und $\partial Q^D/\partial P \lt 0$. Der Zähler ist ebenfalls positiv, da wir die Nachfragefunktion oben spezifiziert haben. Daraus können wir schließen, dass $\partial P^*/\partial a \gt 0$. Ein positiver Nachfrageschock (ein Anstieg von a) führt also zu einem Anstieg des Gleichgewichtspreises.

Um $\partial Q^*/\partial a$ zu finden, können wir die Gleichung für $Q^*$ verwenden:

$$Q^*=Q^S(P^*,\ c)$$

wobei wir uns wieder daran erinnern, dass $P^*$ eine Funktion von a ist. Differenzieren nach a:

$$\frac{\partial Q^*}{\partial a} =\frac{\partial Q^S}{\partial P^*} \frac{\partial P^*}{\partial a}$$

Aus diesem Ausdruck, da $\partial Q^S/\partial P^*\gt0$ und wir gerade gezeigt haben, dass $\partial P^*/\partial a\gt0$, leiten wir ab, dass $\partial Q^*/\partial a\gt0$ ebenfalls gilt. Ein positiver Nachfrageschock (eine Erhöhung von a) führt also zu einem Anstieg sowohl des Gleichgewichtspreises als auch der Gleichgewichtsmenge und ein negativer Schock hat die entgegengesetzten Auswirkungen.

Um die Auswirkungen eines Angebotsschocks zu ermitteln, müssen wir die partiellen Ableitungen von $P^*$ und $Q^*$ in Bezug auf c bestimmen. Dies kann auf die gleiche Weise geschehen. Wir beginnen mit der Ableitung der Gleichung für die Markträumung nach c, um einen Ausdruck für $\partial P^*/\partial c$ zu erhalten. Dann verwenden wir entweder die Gleichung für die Angebotskurve oder die Gleichung für die Nachfragekurve (letztere ist in diesem Fall einfacher), um das Vorzeichen von $\partial P^*/\partial c$ zu bestimmen. Wenn Sie dies sorgfältig tun, sollten Sie feststellen, dass $\partial P^*/\partial c\lt0$ und $\partial Q^*/\partial c\gt0$, also ein positiver Angebotsschock die Menge erhöht und den Preis senkt.

Diese Analyse hat gezeigt, dass die qualitativen Auswirkungen von Nachfrageschocks und Angebotsschocks auf den Gleichgewichtspreis und die Gleichgewichtsmenge dieselben sind wie die, die wir im Text mithilfe von Diagrammen gezeigt haben, unabhängig von der genauen Form der Angebots- und Nachfragefunktionen—vorausgesetzt, sie haben die Standardeigenschaften. Das heißt, die Nachfragekurve fällt und die Angebotskurve steigt.

Lesen Sie weiter: Abschnitt 15.2 und die ersten beiden Absätze von Abschnitt 15.3 von Malcolm Pemberton und Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4th ed. Manchester: Manchester University Press.