Leibniz 11.8.1

Preisblasen

Für eine Einführung in die Leibniz-Abschnitte, lesen Sie bitte „Einführung in die Leibnize“.

Auf Märkten für finanzielle Vermögenswerte kann es zu Preisblasen kommen, weil die Nachfrage zum Teil von den Erwartungen der Preise abhängt, zu denen die Vermögenswerte in Zukunft weiterverkauft werden können. In diesem Leibniz-Artikel entwickeln wir ein einfaches mathematisches Modell des Marktes für Aktien der Flying Car Corporation und zeigen, wie Vermutungen über zukünftige Preise Preisschocks verstärken und zu einer Preisblase führen können, in der die Preise immer schneller steigen.

Nehmen wir an, es gibt einen Wettbewerbsmarkt für die von der Flying Car Corporation herausgegebenen Aktien. Die Zeit sei in Wochen unterteilt. In der Woche $t$ hängt die Nachfrage der Aktien von ihrem aktuellen Preis $P_t$ und dem Betrag $E_t$ ab, um den sich der Preis in naher Zukunft voraussichtlich ändern wird. Wir nehmen an, dass bei gegebenem $E_t$ die nachgefragte Menge aus den üblichen Gründen eine abnehmende Funktion von $P_t$ ist. Wir nehmen auch an, dass bei $P_t$ die nachgefragte Menge eine steigende Funktion von $E_t$ ist: Je mehr ein Preisanstieg erwartet wird, desto mehr Aktien wollen die Spekulierenden, in der Erwartung eines gewinnbringenden zukünftigen Verkaufs, kaufen.

Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass die Nachfrage- und Angebotsfunktionen linear sind:

$$Q_t^D=a-bP_t + sE_t, \;\; Q_t^S=c+dP_t$$

wobei $a,\ b,\ c,\ d,\ s$ Konstanten sind, von denen $b$, $d$ und $s$ (der Spekulationsparameter) positiv sind. Ein Angebots- und Nachfragediagramm, wie Abbildung 11.15 im Text (im Folgenden als Abbildung 1 wiedergegeben), stellt dann für jeden Wert von $E_t$ unterschiedliche Nachfragekurven dar; ein Anstieg von $E_t$ verschiebt die Nachfragekurve nach rechts.

Angenommen, es kommt jede Woche zu einer Markträumung: $Q_t^D = Q_t^S$ für alle $t$. Dann wird der Preis in der Woche $t$ durch die Gleichgewichtspreis-Gleichung bestimmt:

$$a-bP_t + sE_t = c+dP_t$$

für alle $t$, und wir können $P_t$ in Abhängigkeit von $E_t$ lösen:

$$P_t = \overline{P} + \frac{s}{b+d} E_t, \, \text{ wobei }\overline{P} = \frac{a-c}{b+d}$$

Fundamentalwert einer Aktie

Der Aktienkurs basiert auf den erwarteten zukünftigen Einkünften und Risikoniveau.

Beachten Sie, dass $\overline{P}$ der Wert ist, den der Kurs jede Woche hätte, wenn er sich nicht ändern würde. Wir können uns $\overline{P}$ als den Fundamentalwert einer Aktie vorstellen.

Um herauszufinden, was mit dem Preis im Laufe der Zeit geschieht, müssen wir einige Annahmen über die Vermutungen bezüglich des Marktes treffen. Schauen wir uns an, was passiert, wenn die Vermutungen von Woche $1$ an so genau wie möglich sind, das heißt wenn die Marktteilnehmenden in der Lage sind, Preisänderungen korrekt vorherzusagen. Dann

$$E_t = P_{t+1} - P_t$$

für $t=1,\ 2, \ldots \,$ und so weiter. Substituiert man diesen Ausdruck für $E_t$ in die vorangegangene Gleichung, so ergibt sich Folgendes:

$$(b+d)(P_t - \overline{P}) = s(P_{t+1} - P_t)$$

Umstellen ergibt:

$$P_{t+1} - \overline{P} = R(P_t - \overline{P}), \, \text{ wobei }R= \frac{b+d+s}{s}\gt1$$

Das ist die Preisdynamikkurve (PDK), die wir im Text besprochen haben. Sie beschreibt, wie sich der Preis im Laufe der Zeit entwickelt. Wenn wir in Periode 0 mit einem Preis beginnen, der dem Fundamentalwert entspricht, $P_0 = \overline{P}$, und keine Schocks auftreten, dann bleibt der Preis in Periode eins, zwei und allen folgenden Perioden bei $\overline{P}$.

Da jedoch $R \gt 1$ (was aus den Annahmen folgt, dass Nachfragekurven abwärts ($b \gt 0$) verlaufen, Angebotskurven aufwärts ($d \gt 0$) verlaufen und Spekulationen existieren ($s~\gt~0$), ist dieses Gleichgewicht zusammen mit unserem Erwartungsmodell instabil.

Tritt ein Schock ein, der den Preis in Periode eins vorübergehend auf $P_1 \gt \overline{P}$ verändert, dann wird der Preis in Periode zwei wieder steigen: Die PDK sagt uns, dass $P_2$ weiter vom Fundamentalwert entfernt sein wird als $P_1$. In der nächsten Periode wird er noch höher sein.

Das ist die Situation, die in Abbildung 11.18 des Haupttextes dargestellt ist und die als Abbildung 2 unten wiedergegeben wird. In dem Diagramm befindet sich der Markt in der Periode 0 im Gleichgewicht ($P_0 = \overline{P}$). Die PDK, die die Beziehung zwischen $P_t$ und $P_{t+1}$ zeigt, ist im rechten Feld dargestellt. Die PDK schneidet die 45$^\circ$-Linie bei $P_0.$ Da $R \gt 1$ ist die PDK steiler als die 45$^\circ$-Linie, und nachdem ein Schock den Markt in Periode eins vom Gleichgewicht wegbewegt, steigt der Preis in jeder Periode weiter an.

In Abbildung 2 ist zu erkennen, dass sich der Preis nicht nur weiter vom Gleichgewicht entfernt, sondern dass er sich auch immer schneller verändert. Das heißt, die Preisänderung ist zu jeder Periode größer als die Preisänderung in der vorherigen Periode. Um zu zeigen, dass unser mathematisches Modell dies vorhersagt, können wir die obige Gleichung umstellen und erhalten:

$$P_{t+1} - P_t=\frac{b+d}{s}(P_t-\overline{P})$$

und damit auch

$$P_{t+2} - P_{t+1}=\frac{b+d}{s}(P_{t+1}-\overline{P})$$

Aus $P_{t} = \overset{\overline{}}{P} - \frac{s}{b + d}E_{t}$ , $E_{t} = P_{t + 1} - P_{t}$ und der obigen Gleichung ergibt sich

$$\frac{P_{t+2} - P_{t+1}}{P_{t+1} - P_{t}}=\frac{P_{t+1}-\overline{P}}{ P_{t}-\overline{P}}=R$$

Da $R \gt 1$, kann man daraus ableiten, dass die Preisänderung in jeder Periode größer wird, das heißt der Preis wächst mit steigender Rate.

Das ist das klassische Beispiel für eine Preisblase: Der Preis steigt unbegrenzt, weil erwartet wird, dass er steigt, und zwar so lange, wie die Erwartungen richtig sind. Ähnlich verhält es sich, wenn $P_1\lt\overline{P}$ und der Preis kontinuierlich um steigende Beträge fällt. In diesem Fall sagt das Modell voraus, dass der Preis schließlich negativ wird, was im Allgemeinen nicht der Fall ist. Es ist jedoch möglich, nicht-lineare Versionen dieses Modells zu konstruieren, bei denen der Preis für immer positiv bleibt, dabei zwar immer kleiner wird, aber nie den Wert Null erreicht.

Für viele Märkte für Vermögenswerte ist die obige Angebotsfunktion zu einfach, um sinnvoll zu sein. Zum Beispiel kann man sich vorstellen, dass die Nachfrage nach Wohnraum von den Immobilienpreisen und der erwarteten Änderungsrate abhängt (diese bestimmen zusammen mit dem Zinssatz die Kosten für Mietwohnungen), während das Angebot an neuen Häusern vom aktuellen Preis abhängt. $Q_t$ sei der Wohnungsbestand in der Woche $t$. Dann muss die obige Angebotsfunktion durch etwas wie folgt ersetzt werden:

$$Q_t^S=c+dP_t +(1 - \delta) Q_{t-1}$$

wobei $\delta$ die Rate der Wertminderung ist ($0\lt \delta \lt1$). Die Mathematik wird dann viel komplizierter, aber die Schlussfolgerung ist im Wesentlichen dieselbe. Für jeden Wert von $Q_0$ gibt es genau einen Anfangspreis, sagen wir $F(Q_0)$, mit der Eigenschaft, dass wenn $P_1= F(Q_0)$ dann $P_t$ für alle $t\gt1$ innerhalb der Grenzen bleibt. Andernfalls explodiert oder kollabiert $P_t$.

Lesen Sie mehr: Abschnitt 5.1 von Malcolm Pemberton und Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4th ed. Manchester: Manchester University Press.