Leibniz 5.4.2 La elección de horas de trabajo que realiza Ángela

Ángela tiene preferencias cuasilineales respecto al tiempo de trabajo y el grano. En este Leibniz se analizan sus elecciones en tanto que granjera independiente: elige el tiempo de trabajo que maximiza su utilidad, habida cuenta de que la cantidad de grano producido depende, a través de su función de producción, de cuánto trabaja.

Ángela es una agricultora que reparte las horas del día entre el trabajo y el ocio. Su trabajo produce grano, que también consume. Sus horas diarias de ocio se representan como y la cantidad de grano que consume diariamente como . Suponemos que tiene preferencias cuasilineales, representadas, como en el Leibniz 5.4.1, por la función de utilidad:

donde la función es creciente y cóncava. Recuerde que su tasa marginal de sustitución (TMS) es .

Supongamos que la cantidad de grano que Ángela puede producir y consumir por día, , en función de su ocio es:

En otras palabras, se trata de su frontera factible. Es preciso tener en cuenta que la notación ha cambiado un poco respecto a la anterior. Previamente empezábamos con la función de producción que relaciona la producción con las horas de trabajo, de manera que la frontera factible se expresaba como .

Como la frontera factible debe tener una pendiente descendente, . El valor absoluto de la pendiente de la frontera, o tasa marginal de transformación (TMT), es . Para que la frontera tenga la forma cóncava habitual determinada por los rendimientos marginales decrecientes de las horas de trabajo, es necesario que .

El problema de optimización restringida de Ángela consiste en elegir los valores de y que maximicen , sujeto a la restricción .

La condición de primer orden para el óptimo puede calcularse aplicando la fórmula habitual (recuerde el Leibniz 3.5.1) o por sustitución, que en este caso significa elegir para maximizar . De uno u otro modo, se obtiene la ecuación:

Como y son ambas negativas, la parte izquierda de la ecuación es una función decreciente de . Se puede deducir que solo existe un valor de que satisface esta ecuación. Dicho valor es la elección óptima de ocio de Ángela, que llamaremos . La producción y el consumo óptimos se encuentran, por tanto, en la frontera factible . Esta asignación óptima se muestra en la figura 1 como el punto P. En esa misma figura, la curva azul es una curva de indiferencia y la curva roja es la frontera factible de Ángela.

Figura 1 La elección de Ángela entre ocio y grano como agricultora independiente.

Un ejemplo

Ahora pasamos a ilustrar el análisis formal anterior usando funciones específicas de utilidad y producción. Supongamos que en la función de utilidad cuasilineal de Ángela , la función es:

Este es un caso particular del ejemplo de utilidad cuasilineal descrito en el Leibniz 5.4.1: donde y .

En segundo lugar, supongamos que la función de producción de Ángela es , donde representa las horas de trabajo. Como tiene 24 horas al día para repartir entre trabajo y ocio, y la ecuación de su frontera factible es , donde:

Se puede comprobar que esta frontera factible es decreciente () y cóncava ().

Como en el caso anterior, se pueden calcular las tasas marginales de transformación y sustitución a partir de las derivadas de 𝑔 y 𝑣:

En el óptimo, , de manera que . Por lo tanto, Ángela elige tener 16 horas diarias de ocio y trabajar durante las 8 horas restantes. A partir de la función de producción, se obtiene que el consumo diario de grano de Ángela es .

Puede leer más sobre este tema en las secciones 17.1 a 17.3 de Malcolm Pemberton y Nicholas Rau. (2015) Mathematics for economists: An introductory textbook, (4ª Ed.), Manchester: Manchester University Press.