Leibniz 6.6.1 La función de mejor respuesta del trabajador

Hemos representado la interacción entre un trabajador y un empleador como un juego en el que el empleador decide el salario y el trabajador se adapta eligiendo cuánto va a trabajar. En este Leibniz se describen las propiedades matemáticas de la respuesta del trabajador.

Imaginemos una trabajadora, María, que se preocupa por dos cosas: sus ingresos y no trabajar demasiado. Ahora bien, valora más trabajar que su siguiente mejor opción, que es el desempleo, ya que recibe un ingreso a cambio de su trabajo. Mientras esté empleada, puede elegir cuánto trabajar. Su nivel de esfuerzo, , es la fracción de cada hora que dedica a trabajar. Si se esfuerza poco, corre el riesgo de que la despidan y perder el ingreso procedente de su empleo. La cuantía del ingreso que obtiene a cambio de alquilar sus horas de trabajo depende, concretamente, del salario que decida pagarle el empleador. Para cada nivel de salario, , María elige el nivel de esfuerzo que es la mejor respuesta a la situación que debe afrontar. Su curva de mejor respuesta es una función que nos indica el nivel de esfuerzo elegido para cada nivel de salario:

Para hacer un modelo completo de la decisión de María, podríamos empezar a partir de su función de utilidad y resolver su problema de maximización de utilidad para hallar su mejor respuesta a cada salario. No obstante, en esta unidad nos centramos en la interacción entre María y su empleador. Por eso omitimos este paso y simplemente describimos qué forma esperaríamos que tuviera su función de mejor respuesta (de manera que podamos dibujarla), y para ello pensamos en cómo tomaría su decisión.

La forma de la función de mejor respuesta

La función de mejor respuesta que dibujamos en el texto tiene la forma que se muestra en la figura 1. El salario elegido por el empleador está en el eje horizontal y el correspondiente nivel de esfuerzo elegido por María en el vertical.

Figura 1 Función de mejor respuesta de María.

¿Por qué cabría esperar que la función tuviera esta forma? En primer lugar, si el salario es igual al salario de reserva, el ingreso resultante de trabajar es cero, por lo que no se esforzará. En consecuencia, la función corta el eje horizontal en el nivel de salario de reserva. En segundo lugar, María trabaja más si le pagan más. Esto ocurre porque, cuando el salario aumenta, también lo hacen las rentas del empleo. Como consecuencia, decide esforzarse más para reducir el riesgo de que la despidan y perder su ingreso. Así pues, la curva es ascendente: tiene pendiente positiva. En otras palabras, es una función creciente de :

La tercera propiedad que se puede observar en la figura 1 es que la pendiente de la función disminuye a medida que aumenta. Esta característica surge si, como cabría esperar, el coste marginal (o desutilidad) del esfuerzo aumenta a medida que este aumenta. Cuanto mayor es el salario, mayor es también el esfuerzo de María, pero cada vez se le hace más difícil aumentar aún más el esfuerzo si el salario crece un poco. Esto significa que la función es cóncava y, por tanto:

Otras influencias en la función de mejor respuesta

Las rentas del empleo, que son lo que incentiva a María a trabajar más, no solo dependen del salario. En el apartado 6.5 del texto se examinan en detalle los componentes de las rentas del empleo. El ingreso por hora consiste en la diferencia entre el salario de mercado y el salario de reserva de María (como pueden ser las prestaciones públicas por desempleo o el valor de la ayuda procedente de su familia) menos la desutilidad del esfuerzo. El ingreso total es el ingreso por hora multiplicado por la duración esperada del desempleo (antes de que encuentre otro empleo).

María decidirá su esfuerzo dependiendo –también– del grado de supervisión por parte de su empleador. Cuanto mayor sea la probabilidad de que la descubran consultando Facebook, mayor será el incentivo para esforzarse mucho en el trabajo.

Estos factores adicionales que afectan al esfuerzo determinan la posición de la curva de mejor respuesta en el plano y son conocidos como los parámetros de la función de mejor respuesta . Los cambios en los valores de los parámetros desplazan la curva de mejor respuesta. Por ejemplo, un aumento en la duración del desempleo incrementará el nivel de esfuerzo para cada salario, desplazando la curva hacia arriba. Por otra parte, un aumento de la prestación por desempleo la desplazaría hacia abajo.

Podemos describir los efectos de los factores no salariales tratándolos como variables adicionales. La función de mejor respuesta de María podría escribirse como una función de cinco variables en lugar de una:

donde

  • y , una vez más, significan esfuerzo y salario, respectivamente
  • es una medida de la desutilidad del esfuerzo, un rasgo de la función de utilidad de María
  • es la probabilidad de ser descubierta cuando no está trabajando
  • es su prestación de desempleo
  • significa la duración del desempleo

Para valores concretos de las variables adicionales , , y , la relación entre y tiene la forma mostrada en la figura 1: es una función creciente y cóncava de . La única diferencia es que lo expresamos usando derivadas parciales:

Los efectos de las otras variables también pueden expresarse como derivadas parciales. Con base en lo que acabamos de ver:

De esta manera, el esfuerzo de María es una función decreciente respecto de la desutilidad del esfuerzo y la prestación por desempleo, y una función creciente de la probabilidad de ser descubierta escabulléndose del trabajo y de la duración del desempleo.

Puede leer más sobre este tema en la sección 14.1 de Malcolm Pemberton y Nicholas Rau (2015) Mathematics for economists: An introductory textbook, (4ª Ed.), Manchester: Manchester University Press.