Leibniz 7.6.1 Ingreso marginal y costo marginal

Una manera de determinar el precio y la cantidad que maximizan los beneficios de una empresa como Autos Hermosos es hallar el punto donde la curva de demanda es tangente a una curva de isobeneficio. Este Leibniz presenta un método alternativo que usa el ingreso marginal y el costo marginal de la empresa.

Recuerde que el beneficio de Autos Hermosos, , es igual a su ingreso total procedente de la venta de vehículos menos el costo total de producirlos:

La curva inversa de demanda, , nos indica el precio máximo al que puede venderse , por lo que podemos expresar el ingreso como una función de únicamente, que llamaremos función de ingreso y expresaremos como . Por consiguiente:

El ingreso en cualquier punto de la curva de demanda puede representarse gráficamente como el rectángulo rojo bajo la curva, como muestra la figura 7.12a del texto, reproducida aquí como figura 1 debajo.

Figura 1 Cálculo del ingreso marginal.

La expresión anterior de los beneficios puede escribirse como una función de la producción . En concreto, como la diferencia entre la función de ingreso total y la de costo total :

Para hallar el valor de que maximiza el beneficio, derivamos respecto a para obtener la condición de primer orden , lo que implica que:

costo marginal
Efecto sobre el costo total de producir una unidad adicional de producto. Corresponde a la pendiente de la función de costo total en cada punto. También conocido como: coste marginal.
ingreso marginal
Aumento en los ingresos que se obtiene al aumentar la cantidad de Q a Q + 1.

El término en el lado derecho de la ecuación es el costo marginal de la empresa (CMg)—la tasa a la que crece el costo cuando aumenta la cantidad producida. De igual manera, , la derivada de la función de ingreso, es la tasa a la que el ingreso aumenta con la producción y se conoce como ingreso marginal (IMg). Por tanto, la condición de primer orden para la maximización de beneficios puede escribirse como:

Por eso la condición de primer orden nos indica que, en el nivel de que maximiza el beneficio, el ingreso marginal es igual al costo marginal.

La curva de costo marginal (es decir, la función ) muestra cómo cambia el costo marginal cuando cambia la cantidad producida. En el caso de Autos Hermosos, sabemos que el costo marginal crece con la cantidad, por lo que la curva de CMg es creciente. Igualmente, la función es la curva de ingreso marginal donde se observan los cambios del ingreso marginal con la cantidad. En el texto dibujamos la curva IMg con pendiente negativa (descendente). La figura 1 reproduce el panel medio de la figura 7.12b del texto mostrando ambas curvas.

Figura 2 Ingreso marginal y costo marginal.

La cantidad que maximiza el beneficio se halla en el punto donde se cortan ambas curvas: el punto E de la figura 2, donde . Como Autos Hermosos tiene un CMg creciente y un IMg decreciente, solo existe un punto de corte.

En el punto E, la compañía produce 32 vehículos. Como se explicó en la figura interactiva 7.12b del texto, podemos observar que en ese punto se maximiza el beneficio porque el costo marginal de producir más de 32 vehículos sería mayor que el ingreso marginal generado (CMg > IMg), mientras que ocurriría lo contrario si se fabricaran menos de 32 vehículos.

Ahora bien, observe que si las curvas tuvieran pendientes diferentes, este argumento no hubiera funcionado. Si el CMg fuera decreciente (algo que puede ocurrir si la empresa tiene economías de escala) y el IMg fuese creciente (menos habitual, pero que podría suceder con algunas funciones de demanda), el punto de corte sería un punto donde se minimizaría el beneficio (intente trazar las curvas y explicarse por qué esto debe ser cierto).

En general, si encontramos una solución a la condición de primer orden CMg = IMg, podemos decir que es la cantidad que maximiza el beneficio si CMg < IMg cuando y CMg > IMg cuando .

La relación entre los dos modelos

Ahora mostramos que la condición de primer orden para la maximización de beneficios derivada anteriormente, IMg = CMg, es equivalente a la condición de primer orden para la maximización de beneficios presentada en el Leibniz 7.5.1. Usando la regla de la derivada del producto para derivar , vemos que:

Por tanto, la condición de primer orden IMg = CMg puede escribirse como:

Reordenándola,

que es la condición de primer orden del Leibniz 7.5.1. Recuerde que esta puede interpretarse como una expresión de que la pendiente de la curva de demanda es igual a la de la curva de isobeneficio.

Ambas expresiones de la condición de primer orden se presentan en dos gráficos muy distintos. CMg = IMg se presenta dibujando las curvas CMg e IMg y hallando el punto donde se cruzan. La otra forma de cálculo del beneficio máximo puede mostrarse dibujando las curvas isobeneficio y demanda e identificando el punto de tangencia.

El método CMg = IMg es útil a menudo en el análisis del comportamiento de las empresas. En ocasiones, en los trabajos empíricos es más sencillo estimar una función de ingreso que una de demanda. En el Leibniz 7.8.1, cuando presentemos el concepto de la elasticidad de demanda, veremos otra manera útil de escribir la condición de primer orden. En definitiva, cualquiera que sea el método usado, las condiciones de primer orden son equivalentes y, por tanto, la solución para la cantidad que maximiza el beneficio es la misma.

Puede leer más sobre este tema en las secciones 6.4 y 8.1 de Malcolm Pemberton y Nicholas Rau (2015) Mathematics for economists: An introductory textbook, (4ª Ed.), Manchester: Manchester University Press.