Leibniz 8.5.1 Las ganancias del comercio

Los vendedores y compradores participan en un mercado porque se benefician al hacerlo; los excedentes del consumidor y el productor suponen una medida de sus ganancias derivadas del intercambio comercial. Aquí mostraremos cómo calcular matemáticamente el excedente y probaremos que la asignación del equilibrio competitivo maximiza las ganancias del comercio.

Describimos las ganancias del intercambio en el mercado del pan de una ciudad usando la figura 8.9a, reproducida como la figura 1 a continuación. El excedente obtenido por los consumidores se representa por el área que queda por debajo de la curva de demanda y por encima de la línea horizontal al nivel del precio de mercado. El excedente del productor es el área que queda por encima de la curva de oferta y por debajo de la línea horizontal de precios. La suma de ambas áreas es la ganancia total de intercambiar o comerciar en este mercado.

Para determinar matemáticamente las ganancias del comercio, suponemos que la demanda de pan se describe con la función inversa de demanda , donde es el precio y el número de barras de pan. Bajo el supuesto habitual de que las curvas de demanda tienen pendiente negativa (Ley de la Demanda), es una función decreciente. Recuerde que la función de demanda nos indica la disposición a pagar (DAP) por el pan. Si los consumidores se ordenan según su disposición a pagar por un pan, entonces el consumidor -ésimo estará dispuesto a pagar . Cualquier comprador cuya disposición a pagar por un bien es mayor que el precio de mercado recibe un excedente. Si suponemos que el precio de mercado por un pan es , entonces el excedente del consumidor -ésimo será . En este gráfico, es la distancia vertical para la cantidad entre la curva de demanda y la línea horizontal al nivel del precio de mercado.

Figura 1 Equilibrio en el mercado de panes: ganancias del comercio.

El excedente del consumidor se halla sumando los excedentes de todos los consumidores que pueden comprar pan a este precio. Como hemos descrito la demanda mediante una función continua (no estamos trabajando con cantidades discretas de panes), usamos la integración para agregar los excedentes individuales. Supongamos que el precio es y la cantidad vendida total es . Entonces, necesitamos agregar los excedentes para todos los puntos de la curva de demanda entre y :

En esta expresión hemos introducido la notación para expresar la integral de la función . Es decir, el área bajo la curva de demanda para las cantidades entre 0 y . Por el teorema fundamental del cálculo:

Se deduce de la Ley de la Demanda que es una función decreciente, por lo que es una función cóncava.

La superficie sombreada en rojo en la figura 1 muestra el excedente del consumidor cuando el mercado está en equilibrio competitivo, con y . Se trata del área de la región aproximadamente triangular delimitada por la curva de demanda, el eje vertical y la línea horizontal . (Con «aproximadamente triangular» queremos indicar que la zona sería un triángulo si la curva de demanda fuese una línea recta).

Podemos calcular el excedente del productor de la misma manera. Recuerde que en el Leibniz 8.4.1 vimos que la curva inversa de oferta es la curva de costo marginal para la producción de pan en este mercado. Si llamamos al costo total de las panaderías por producir una cantidad de pan, el costo marginal es y es la ecuación de la función inversa de oferta del mercado.

Suponemos, como en el texto, que es positivo y creciente respecto a , lo que implica que es una función creciente y convexa. También supondremos que , en cuyo caso podemos escribir:

con base en el teorema fundamental del cálculo. Esta ecuación nos indica que el costo total es el área bajo la curva de costo marginal para cantidades menores o iguales a . Si no fuera cero, diríamos que el área bajo la curva de costo marginal es igual a los costos variables totales: es decir, los costos totales excluyendo los costos fijos en los que se incurriría incluso si las panaderías no produjeran pan.

Si una panadería vende la barra de pan -ésima a un precio , su excedente por esta transacción será menos el costo de producir esa barra, . Si la cantidad total de barras producidas y vendidas a un precio es , el excedente del productor es la suma de los excedentes en cada barra.

Con base en esta expresión se puede observar que, bajo nuestro supuesto de que , el excedente del productor es igual al beneficio de la empresa. Si la empresa tiene también costes fijos, su beneficio sería igual al excedente del productor menos sus costes fijos.

El área sombreada de morado en la figura 1 muestra el excedente del productor en el caso del equilibrio competitivo, con y . Se trata del área de la región aproximadamente triangular delimitada por la curva de oferta, el eje vertical y la línea horizontal .

Observe que las expresiones que hemos obtenido para el excedente del consumidor, , y el excedente del productor, , proporcionan el valor del excedente del consumidor para cualquier precio y cualquier cantidad . Se aplican tanto si el precio es el de equilibrio del mercado como si no. La figura 2 muestra los excedentes del consumidor y del productor para el caso general de un precio y una cantidad arbitrarios.

Figura 2 Excedentes del consumidor y del productor cuando el precio y la cantidad no son de equilibrio.

Maximización de los excedentes del consumidor y el productor

Como los excedentes del consumidor y el productor miden las ganancias del comercio, es útil saber qué condiciones hacen que se sitúen en su máximo posible. Considere primero nuestra expresión para el excedente del consumidor, que llamaremos .

Para un precio concreto , la cantidad que maximiza el excedente del consumidor puede calcularse igualando a cero la derivada de :

Observe que, como es cóncava, la segunda derivada de es negativa, lo que confirma que esta condición nos da un punto máximo.

Esta ecuación nos dice que, si el precio es , se maximiza cuando la cantidad vendida está sobre la curva de demanda en : es decir, cuando todos los consumidores cuya disposición a pagar es mayor o igual a participan en el mercado. Si participan menos consumidores quedan ganancias sin explotar. Si cualquier otro consumidor comprara pan, obtendría un excedente negativo, con lo que disminuiría el excedente agregado del consumidor.

De idéntica manera, puede mostrarse también que el excedente del productor

se maximiza cuando

Por eso, cualquiera que sea el precio, los productores maximizan su excedente si el costo marginal del pan es igual al precio.

Maximización del excedente total

La suma de los excedentes del productor y del consumidor es el excedente total. Cuando el precio es y la cantidad vendida es :

El excedente total puede simplificarse expresándose así:

Observe que el excedente total depende solo de la cantidad vendida. Para cualquier precio, lo que se paga por el pan es una pérdida para los consumidores y una ganancia igual para las empresas, por lo que ambas se compensan cuando evaluamos el excedente total para el mercado.

Para hallar la cantidad que maximiza el excedente total, igualamos la derivada de a cero. Entonces, es la cantidad que cumple la ecuación:

Para estar seguros de que maximiza , necesitamos considerar la segunda derivada. Recuerde que es cóncava y es convexa. Por tanto, la segunda derivada de es negativa y la segunda derivada de es positiva. Podemos deducir que la segunda derivada de es negativa y, en consecuencia, que corresponde a un punto máximo.

Como , esta ecuación nos indica que se halla en el punto donde la curva inversa de demanda coincide con la curva inversa de oferta . es el nivel de producción al que las curvas de demanda y oferta se cruzan. Este es el nivel de producción alcanzado cuando el mercado está en equilibrio competitivo. Hemos demostrado así que, en la asignación del mercado competitivo, en la que el mercado alcanza el equilibrio al precio de equilibrio , la cantidad vendida maximiza las ganancias totales del comercio.

Puede leer más sobre el tema en las secciones 8.4 y 19.1 de Malcolm Pemberton y Nicholas Rau (2015) Mathematics for economists: An introductory textbook, (4ª Ed.), Manchester: Manchester University Press.