Leibniz 11.8.1 Burbujas de precios

Las burbujas se pueden producir en mercados de activos financieros porque la demanda depende en parte de las expectativas sobre los precios a los que podrán ser revendidos estos en el futuro. En este Leibniz desarrollamos un modelo matemático sencillo del mercado de acciones de la Flying Car Corporation, mostrando cómo las opiniones sobre los precios futuros pueden intensificar los shocks de precios y llevar a una burbuja en la que los precios crecen a un ritmo cada vez mayor.

Supongamos que hay un mercado competitivo para las acciones emitidas por la Flying Car Corporation. Dividamos el tiempo en semanas. En la semana , la demanda de las acciones depende de su precio actual y la medida en la que se espera que el precio cambie en el futuro cercano. Supongamos que, dado , la cantidad demandada es una función decreciente de , por razones obvias. Y supongamos también que, dado , la cantidad demandada es una función creciente de : cuanto más se espere que crezcan los precios en el futuro, mayor será el número de acciones que los especuladores desearán comprar con la expectativa de lograr una venta futura beneficiosa.

Para simplificar el análisis, suponemos que las funciones de demanda y oferta son lineales:

donde son constantes de las que , y (el parámetro de la especulación) son positivas. Un gráfico oferta-demanda, como la figura 11.15 del texto (reproducido a continuación como figura 1), describe diferentes curvas de demanda para cada valor de . Un aumento de desplaza la curva de demanda hacia la derecha.

Figura 1 El inicio de una burbuja para las acciones de Flying Car Corporation.

Supongamos que el mercado alcanza un equilibrio todas las semanas: para todo . Entonces el precio en la semana se determina por la ecuación que establece el equilibrio de mercado.

para todo , y podemos hallar en términos de :

valor fundamental de una acción
Cotización de la acción con base en las ganancias futuras anticipadas y el nivel de riesgo.

Observe que sería el precio que se produciría cada semana si no se esperase que cambiara. Podemos pensar en como el valor fundamental de una acción.

Para ver qué ocurre con el precio a lo largo del tiempo, tenemos que realizar algunos supuestos sobre las expectativas en el mercado. Veamos qué sucede si las expectativas son tan precisas como sea posible de la semana 1 en adelante: es decir, los participantes en el mercado pueden predecir correctamente los cambios en los precios. Entonces

Para etc. Sustituyendo esta expresión de en la ecuación precedente, vemos que

Reorganizando los términos obtenemos:

Esta es la curva de dinámicas de precio (CDP) que hemos comentado en el texto. Esta curva describe cómo evoluciona el precio a lo largo del tiempo. Si comenzamos en el período 0 con el precio igual al valor fundamental, , y no se producen shocks, entonces el precio se mantendrá en durante los períodos 1, 2 y todos los posteriores.

Sin embargo, como (consecuencia de suponer que las curvas de demanda son decrecientes (), las de oferta crecientes (), que existe especulación () y de seguir nuestro modelo de las expectativas), este equilibrio es inestable.

Si se produce un shock que cambie temporalmente el precio en el período 1 a , entonces el precio aumentará de nuevo en el período 2: la CDP nos dice que está más alejado del valor fundamental que . Seguirá siendo mayor en el siguiente período.

Esta es la situación que se muestra en la figura 11.18 del texto principal, reproducida como figura 2 a continuación. En el gráfico, el mercado está en equilibrio en el período 0 (). La CDP, que muestra la relación entre y , se representa en el panel derecho. La CDP corta la línea bisectriz en . Como , la CDP tiene más pendiente que la bisectriz y, después de que un shock aleje el mercado del equilibrio en el período 1, el precio aumenta todavía más con cada período.

Figura 2 Un equilibrio inestable.

En la figura 2 puede observarse que el precio no solo se aleja del de equilibrio, sino que lo hace a un ritmo creciente. Es decir, el cambio de precio de cada período es mayor que el cambio del período anterior. Para mostrar que nuestro modelo matemático predice este hecho, podemos reordenar la ecuación anterior para obtener:

Y, por tanto, también

En consecuencia, dado que , y teniendo en cuenta la ecuación anterior, se deduce que

De nuevo, como , podemos deducir que el cambio del precio se hace mayor con cada período que pasa: es decir, el precio crece a una tasa creciente.

Este es el ejemplo clásico de una burbuja: el precio sube sin límites porque se espera que suba, y lo hará mientras las expectativas sean correctas. De igual manera, si , el precio bajará continuamente cada vez en mayor medida. En este caso, el modelo predice que, al final, el precio llegaría a ser negativo, algo que generalmente no ocurre. Es posible, no obstante, construir versiones no lineales de este modelo en las que el precio siempre se mantendrá en valores positivos, haciéndose cada vez más pequeño, pero sin llegar nunca a cero.

Para muchos mercados de activos, la función de oferta anterior es demasiado sencilla para ser sensata. Por ejemplo, podemos pensar en la demanda de vivienda como dependiente del precio de las casas y la tasa esperada de cambio de este (ambas variables, junto al tipo de interés, determinan el coste del alquiler de la vivienda), mientras que la oferta de las nuevas viviendas depende del precio actual. Sea el stock de viviendas en la semana . Entonces la función de oferta anterior debe ser sustituida por otra del tipo:

Donde es la tasa de depreciación (). Las matemáticas son bastante más complicadas en este caso, pero la conclusión acaba siendo esencialmente la misma. Para cada valor de , existe exactamente un precio inicial, digamos , con la propiedad de que si , entonces se mantiene dentro de los límites para cualquier . De lo contrario, explota o se desploma.

Puede leer más sobre este tema en la sección 5.1 de Malcolm Pemberton y Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4ª ed. Manchester: Manchester University Press.