Leibniz 22.2.1 Duración esperada del dictador o la élite gobernante

Cuanto mayor es la recaudación fiscal por parte del dictador, mayor es la probabilidad de ser destituido y menor es el tiempo que puede esperar permanecer en el cargo.

El dictador puede ser destituido por un mal desempeño (las rentas políticas que recauda con impuestos por encima del costo de provisión del bien público) o por razones no relacionadas con el desempeño. Llamaremos a la probabilidad de ser destituido un año cualquiera por motivos relacionados con el desempeño. Cuanto mayor sea la recaudación fiscal anual, , mayor será la probabilidad de destitución. En otras palabras, es una función creciente de , por lo que podremos escribirla como . Si expresamos la probabilidad de ser destituido por otras razones como , la probabilidad de ser destituido cualquier año por cualquier razón, expresada como , es la suma de ambas probabilidades:

En términos estrictos, esta expresión es una aproximación porque estamos ignorando la posibilidad de que tengan lugar tanto razones relacionadas con el desempeño como las otras razones en un mismo año. No obstante, es una buena aproximación porque las probabilidades y no son altas.

Supongamos que, una vez establecido, el dictador no cambia el nivel de impuestos que aplica, y que tampoco cambia nada más a lo largo del tiempo. Por lo tanto, la probabilidad de destitución permanecerá constante, con independencia de cuánto tiempo lleve ocupando el cargo el dictador. Supongamos que su duración esperada en el cargo al inicio del año actual es años y, si sobrevive este año (hecho que ocurre con probabilidad ), al inicio del año siguiente su duración esperada será años. La duración este año es uno más la duración adicional esperada en el futuro:

Ahora bien, si el dictador supera este año, el riesgo de ser destituido será exactamente igual al inicio del año siguiente que ahora mismo. Por este motivo, la duración esperada cuando comience el próximo año será la misma que al inicio del año actual. En consecuencia, y

Resolvemos esta ecuación para obtener o, de modo equivalente:

Esta es la ecuación de la curva de duración que muestra la figura 22.5 del texto, reproducida como figura 1 a continuación: se dibuja en el eje horizontal. Como es una función creciente de , decrece con , por lo que la curva tiene pendiente descendente. La forma de la curva depende de la de la función , pero se presenta aquí como una línea recta, para simplificar la presentación.

Figura 1 La curva de duración: el dictador establece el impuesto para un costo dado del servicio público.

Cuando la recaudación fiscal cubre exactamente el costo de los servicios públicos, , el dictador no está obteniendo rentas políticas, en cuyo caso suponemos que no será destituido por motivos relacionados con su desempeño, y por tanto . En este caso, su duración esperada en el cargo máxima, , ocurre cuando y viene dada por: