Leibniz 2.2.1 Leibniz-osiot

Leibniz-osiot valaisevat, miten talousmalleissa voi käyttää edistyneempää matematiikkaa, etenkin differentiaali- ja integraalilaskentaa. Tämän aineiston mallien ymmärtäminen ei vaadi Leibniz-osioihin perehtymistä, mutta niistä voi olla apua taloustieteen jatkokursseilla tai matematiikan kursseilla. Tässä ensimmäisessä Leibniz-osiossa selitämme nimen taustaa ja esittelemme yleisiä merkintätapoja.

Kuka keksi differentiaali- ja integraalilaskennan?

Ehkä kaikkien aikojen kuuluisin tiedekiista on käyty siitä, keksikö differentiaali- ja integraalilaskennan Sir Isaac Newton vai Gottfried Leibniz.

Isaac Newton

Muotokuva: Sir Godfrey Kneller, Wikipedia/Wikimedia Commons

Sir Isaac Newton (1642–1726) oli englantilainen matemaatikko ja fyysikko. Häntä pidetään yhtenä maailman kaikkien aikojen vaikutusvaltaisimmista tiedemiehistä. Hän keksi differentiaali- ja integraalilaskennan lisäksi painovoiman lain, loi perustan klassiselle mekaniikalle, kehitti valo-oppia ja muotoili jäähtymislain. Newton toimi Kuninkaallisen rahapajan johtajana kolmen hallitsijan aikana ja perusti kultakannan, joka oli kansainvälisen rahajärjestelmän ydin lähes 200 vuotta.

Newton käytti differentiaali- ja integraalilaskennan metodeja ensimmäistä kertaa vuonna 1666 julkaistussa käsikirjoituksessa. Hän käytti metodeja teoksessaan Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (“Luonnonfilosofian matemaattiset perusteet”), joka julkaistiin vuonna 1667. Päätutkielmansa Methodus fluxionum Newton sai valmiiksi vuonna 1671, mutta teos julkaistiin vasta 1736.

Gottfried Wilhelm von Leibniz

Muotokuva: Andreas Scheits, Wikipedia/Wikimedia Commons

Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646–1716) oli saksalainen matemaatikko ja filosofi. Hän käytti integraalilaskentaa vuonna 1675 käyrän alapuolisen alan määrittämisessä ja esitteli siinä yhteydessä vieläkin käytössä olevat lyhenteet: integraalimerkki ja differentiaalimerkki . Filosofina Leibniz keskittyi Théodicée-tutkielmassa esittämäänsä optimismin periaatteeseen, jonka mukaan Jumala oli luonut kaikista mahdollisista maailmoista parhaan. Voltaire pilkkasi tutkielmaa romaanissaan Candide.

Newtonin kannattajat syyttivät Leibnizia Newtonin tuotannon plagioinnista. Leibniz kuoli köyhänä ja maineensa menettäneenä. Sittemmin sekä matemaatikot että filosofit ovat palauttaneet hänen maineensa.

Nykyiset historiantutkijat katsovat, että Newton ja Leibniz keksivät integraalilaskennan itsenäisesti ja samoihin aikoihin. Siksi heitimme kolikkoa siitä, kumpi saa nimensä matematiikkaosioiden otsikkoon. Leibniz vei voiton.

Merkintätavat

Monissa Leibniz-osioissa on suosituksia lisälukemiseksi. Useimmiten suosituksena on tämä teos: Malcolm Pemberton ja Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4. painos. Manchester: Manchester University Press.

Yhden muuttujan funktiot

yhden muuttujan funktio, jossa on argumentti ja funktion arvo
funktion ensimmäinen derivaatta
vaihtoehtoinen merkintätapa funktion ensimmäiselle derivaatalle
funktion toinen derivaatta
funktion toisen derivaatan vaihtoehtoinen merkintätapa

Integraalilaskenta

yhden muuttujan funktio, jossa on argumentti ja funktion arvo
funktion määräämätön integraali
funktion määrätty integraali välillä

Kahden muuttujan funktiot

kahden muuttujan funktio, jossa ja ovat argumentteja ja on funktion arvo
funktion osittaisderivaatta muuttujan suhteen, muuttuja pidetään vakiona
funktion osittaisderivaatta muuttujan suhteen, muuttuja pidetään vakiona
funktion toinen derivaatta muuttujan suhteen, muuttuja pidetään vakiona
funktion toinen derivaatta muuttujan suhteen, muuttuja pidetään vakiona
ristikkäisderivaatta; osittaisderivaatan ensimmäinen derivaatta muuttujan suhteen
ristikkäisderivaatta; osittaisderivaatan ensimmäinen derivaatta muuttujan suhteen
ristikkäisderivaatta, kun funktiot ja ovat yhtä suuria