Leibniz 3.1.2 Laskeva rajatuottavuus

Alexein tuotantofunktion ominaisuuksiin kuuluu, että rajatuottavuus on laskeva. Funktion kuvaaja tasaantuu päivittäisten työtuntien määrän kasvaessa. Millaiset matemaattiset ominaisuudet vastaavat laskevaa rajatuottavuutta?

Jos tuotantofunktio on $y=f(h)$, työn rajatuotos on $\frac{dy}{dh}=f’(h)$. Rajatuotos pienenee muuttujan $h$ kasvaessa, jos

$$\frac{d}{dh}\left( \frac{dy}{dh} \right) = \frac{d^{2}y}{dh^{2}} < 0$$

tai toista merkintätapaa käyttäen

$$f’’(h) \lt 0.$$

Tuotantofunktion toisen derivaatan tulee siis olla negatiivinen.

Esimerkki

Tarkastellaan jälleen tuotantofunktiota

$$y = Ah^\alpha,$$

jossa $A$ ja $\alpha$ ovat vakioita ja $A \gt 0$, $0 \lt \alpha \lt 1$. Osoitimme Leibniz-osiossa 3.1.1, että tällaisen tuotantofunktion rajatuotos on seuraava:

$$\text{rajatuotos} = \frac{dy}{dh} = \alpha Ah^{\alpha -1},$$

joka on positiivinen tuntimäärän $h$ positiivisilla arvoilla. Haluamme nyt osoittaa, että tuntimäärän $h$ kasvaessa rajatuotos pienenee.

Eräs tapa on tarkastella rajatuotoksen lauseketta

$$\alpha Ah^{\alpha -1}.$$

Muuttuja $h$ saa eksponentin $\alpha -1$, joka on negatiivinen, koska $\alpha \lt 1$. Negatiivisten eksponenttien ominaisuuksiin kuuluu, että muuttujan $h$ kasvaessa $h^{\alpha -1}$ pienenee. Koska vakiot $A$ ja $\alpha$ ovat positiivisia, myös työn rajatuotos $\alpha Ah^{\alpha -1}$ pienenee.

Toinen tapa on derivoida rajatuotos:

$$\frac{d^2 y}{dh^2} = (\alpha -1)\alpha Ah^{\alpha -2}= \alpha(\alpha -1)\frac{Ah^\alpha}{h^2} =\alpha(\alpha -1)\frac{y}{h^2}$$

Tiedämme, että positiivisilla tuntimäärän $h$ arvoilla myös tuotos $y$ on positiivinen. Koska $0 \lt \alpha \lt 1$, niin $\alpha(\alpha -1) \lt 0$, josta seuraa

$$\frac{d^2 y}{dh^2} =\alpha(\alpha -1)\frac{y}{h^2} \lt 0.$$

Olemme osoittaneet, että tuotantofunktion toinen derivaatta on negatiivinen, jolloin rajatuotos pienenee muuttujan $h$ kasvaessa. Toisin sanoen työn rajatuotos on laskeva.

Leibniz-osiossa 3.1.1 osoitimme, että kun $\alpha \lt 1$, rajatuotos on pienempi kuin keskituotos. Tämä tuotantofunktion ominaisuus liittyy kiinteästi laskevaan rajatuottavuuteen: jos tuotantofunktion rajatuotos on laskeva kaikilla panoksen arvoilla, rajatuotos on pienempi kuin keskituotos.

Kuvioon 2 on piirretty tuotantofunktio $y = Ah^\alpha$, jossa $\alpha =0,4$ ja $A=30$, sekä työn rajatuotoksen kuvaaja. Jokaiselle muuttujan $h$ arvolle voi ylemmästä kaaviosta lukea funktion $y$ arvon ja alemmasta kaaviosta tuotantofunktion kulmakertoimen $dy/dh$. Kuviosta näemme, että työn rajatuotos laskee muuttujan $h$ kasvaessa.

Lisälukemista: Pemberton ja Rau (2016), luvut 6.4 ja 8.4.