Leibniz 3.1.2 Laskeva rajatuottavuus

Alexein tuotantofunktion ominaisuuksiin kuuluu, että rajatuottavuus on laskeva. Funktion kuvaaja tasaantuu päivittäisten työtuntien määrän kasvaessa. Millaiset matemaattiset ominaisuudet vastaavat laskevaa rajatuottavuutta?

Jos tuotantofunktio on , työn rajatuotos on . Rajatuotos pienenee muuttujan kasvaessa, jos

tai toista merkintätapaa käyttäen

Tuotantofunktion toisen derivaatan tulee siis olla negatiivinen.

Esimerkki

Tarkastellaan jälleen tuotantofunktiota

jossa ja ovat vakioita ja , . Osoitimme Leibniz-osiossa 3.1.1, että tällaisen tuotantofunktion rajatuotos on seuraava:

joka on positiivinen tuntimäärän positiivisilla arvoilla. Haluamme nyt osoittaa, että tuntimäärän kasvaessa rajatuotos pienenee.

Eräs tapa on tarkastella rajatuotoksen lauseketta

Muuttuja saa eksponentin , joka on negatiivinen, koska . Negatiivisten eksponenttien ominaisuuksiin kuuluu, että muuttujan kasvaessa pienenee. Koska vakiot ja ovat positiivisia, myös työn rajatuotos pienenee.

Toinen tapa on derivoida rajatuotos:

Tiedämme, että positiivisilla tuntimäärän arvoilla myös tuotos on positiivinen. Koska , niin , josta seuraa

Olemme osoittaneet, että tuotantofunktion toinen derivaatta on negatiivinen, jolloin rajatuotos pienenee muuttujan kasvaessa. Toisin sanoen työn rajatuotos on laskeva.

Leibniz-osiossa 3.1.1 osoitimme, että kun , rajatuotos on pienempi kuin keskituotos. Tämä tuotantofunktion ominaisuus liittyy kiinteästi laskevaan rajatuottavuuteen: jos tuotantofunktion rajatuotos on laskeva kaikilla panoksen arvoilla, rajatuotos on pienempi kuin keskituotos.

Kuvioon 2 on piirretty tuotantofunktio , jossa ja , sekä työn rajatuotoksen kuvaaja. Jokaiselle muuttujan arvolle voi ylemmästä kaaviosta lukea funktion arvon ja alemmasta kaaviosta tuotantofunktion kulmakertoimen . Kuviosta näemme, että työn rajatuotos laskee muuttujan kasvaessa.

Kuvio 2 Tuotantofunktio y = 30h0,4 ja funktion rajatuotos.

Lisälukemista: Pemberton ja Rau (2016), luvut 6.4 ja 8.4.