Leibniz 3.2.1 Samahyötykäyrät ja rajasubstituutiosuhde

Alexei arvostaa hyvää tenttiarvosanaa ja vapaa-aikaa. Kuvasimme Alexein preferenssejä graafisesti samahyötykäyrien avulla. Totesimme, että samahyötykäyrän kulmakerroin kuvaa Alexein halukkuutta vaihtaa tenttipisteitä vapaa-aikaan eli hänen rajasubstituutiosuhdettaan. Tämä Leibniz-osio kertoo, miten preferenssejä kuvataan matemaattisesti.

hyöty
Hyöty on numeerinen mittari, joka kertoo lopputulosten arvojärjestyksen: kahdesta mahdollisesta lopputuloksesta päätöksentekijä valitsee sen, jota hän arvostaa enemmän. Englanniksi utility.

Samahyötykäyrä kuvaa vapaa-ajan ja tenttipisteiden yhdistelmiä, jotka tuottavat Alexeille tietyn hyödyn. Preferenssit voi ilmaista matemaattisesti hyötyfunktiona, joka kuvaa sitä, miten hyödyn yksikkömäärä riippuu saatavilla olevista hyödykkeistä. Alexei arvostaa vain kahta hyödykettä: vapaa-aikaa ja tenttiarvosanaa. Jos hän pitää vapaata päivittäin tuntia ja saa arvosanan , hänen hyötynsä voi ilmaista funktiona

Koska arvosana ja vapaa-aika ovat molemmat hyödykkeitä eli Alexei haluaa molempia mahdollisimman paljon, hyötyfunktion arvon tulee kasvaa sekä muuttujan että muuttujan arvojen kasvaessa. Hyöty on kummankin muuttujan ja kasvava funktio.

samahyötykäyrä
Samahyötykäyrä kuvaa hyödykeyhdistelmiä, jotka tuottavat yksilölle tietyn hyödyn. Sitä nimitetään myös indifferenssikäyräksi. Englanniksi indifference curve.

Alexein hyötyfunktiolla on kaksi argumenttia. Kahden muuttujan funktiota voi kuvata pintana kolmiulotteisessa avaruudessa, kuten yhden muuttujan funktiota kuvataan käyränä tasossa. Kolmiulotteisia kuvaajia on kuitenkin hankalaa käsitellä. Siksi taloustieteilijät käyttävät hyödyn kuvaamiseen samaa menetelmää, jolla kartanpiirtäjät esittävät kolmiulotteisen ympäristömme, nimittäin korkeuskarttaa. Korkeuskartalla korkeuskäyrät yhdistävät pisteitä, jotka ovat yhtä korkealla merenpinnasta. Samahyötykäyrät ovat ikään kuin hyötypinnan korkeuskäyriä, jotka yhdistävät yhtä suuren hyödyn tuottavia pisteitä.

Alexein samahyötykäyrä kuvaa kaikkia vapaa-ajan ja tenttiarvosanan yhdistelmiä, jotka tuottavat yhtä suuren hyödyn. Tyypillisen samahyötykäyrän yhtälö on muotoa

jossa vakio on käyrän pisteiden tuottama hyöty. Vakion eri arvot vastaavat eri samahyötykäyriä: kun kasvaa, siirrymme uudelle samahyötykäyrälle, joka sijaitsee edellisestä yläoikealla. Luvun 3 kuviossa 3.6 on kolme Alexein samahyötykäyrää, jotka on piirretty uudestaan alle kuvioon 1.

Kuvio 1 Alexein preferenssit kaaviona.

Rajasubstituutiosuhde

Alexein rajasubstituutiosuhde MRS eli vaihtosuhde, jolla hän on valmis vaihtamaan tenttipisteitä tuntiin lisää vapaa-aikaa, on kaikilla vapaa-ajan ja arvosanan yhdistelmillä yhtä suuri kuin samahyötykäyrän kulmakerroin yhdistelmää vastaavassa pisteessä.

Miten samahyötykäyrän kulmakerroin lasketaan?

Kulmakerroin saadaan hyötyfunktion osittaisderivaatoista. Osittaisderivaatta kuvaa, miten hyöty muuttuu, kun kasvaa ja pysyy vakiona. Taloustieteessä osittaisderivaatta tarkoittaa vapaa-ajan rajahyötyä. Osittaisderivaatta taas on arvosanan rajahyöty. Totesimme jo, että hyöty on positiivisesti yhteydessä muuttujiin ja . Toisin sanoen Alexein molemmat rajahyödyt ovat positiivisia.

Laskemme samahyötykäyrän kulmakertoimen niin sanotulla implisiittisellä derivoinnilla. Käytämme sitä myös myöhemmissä Leibniz-osioissa. Lähdemme liikkeelle pienestä vapaa-ajan lisäyksestä ja kysymme, miten paljon tenttiarvosanan on muututtava, jotta hyöty pysyisi vakiona.

Kuvitellaan, että molemmissa muuttujissa ja tapahtuu pieni muutos, ja . Voimme approksimoida hyödyn muutosta eli laskea sille likiarvon funktion osittaisderivaattojen avulla. Saamme lausekkeen, joka ilmaisee hyödyn muutoksen vapaa-ajan vaikutuksen ja arvosanan vaikutuksen summana:

Jos muutokset ja ovat sellaisia, että Alexei pysyy samalla samahyötykäyrällä, hänen hyötynsä ei muutu. Tällöin ja

Järjestellään termit:

Muutokset ja aiheuttavat yhdessä pienen siirtymän samahyötykäyrää pitkin. Jos , yhtälön vasen puoli lähenee samahyötykäyrän kulmakerrointa ja likiarvoisuus muuttuu yhtäsuuruudeksi.

Samahyötykäyrän kulmakerroin pisteessä voidaan laskea kaavasta

rajasubstituutiosuhde
Kuvaa sitä, missä suhteessa päätöksentekijä on valmis vaihtamaan yhtä hyödykettä toiseen. Rajasubstituutiosuhde on samahyötykäyrän kulmakerroin. Englanniksi marginal rate of substitution (MRS). Katso myös: rajamuunnossuhde.

Yhtälön oikea puoli on negatiivinen, koska molemmat rajahyödyt ovat positiivisia: vapaa-ajan lisäys ja arvosanan parannus lisäävät kumpikin Alexein hyötyä. Samahyötykäyrä on näin ollen laskeva, kuten kuviossa. Selvyyden vuoksi rajasubstituutiosuhde määritellään yleensä kulmakertoimen itseisarvoksi:

ja sanallisesti

Koska olemme määritelleet rajasubstituutiosuhteen positiiviseksi, voimme sanoa, että rajasubstituutiosuhde on suurempi niissä pisteissä, joissa samahyötykäyrä on jyrkempi eli Alexei on valmis vaihtamaan enemmän pisteitä vapaa-aikaan. Samahyötykäyrän kulmakerroin taas on näissä pisteissä pienempi (enemmän negatiivinen).

Rajasubstituutiosuhde on vaihtosuhde, jolla Alexei on valmis vaihtamaan tenttipisteitä vapaa-aikaan. Rajahyötyjen suhdelukuna ilmaistu rajasubstituutiosuhde saa seuraavan tulkinnan: rajasubstituutiosuhde on likiarvoisesti yhtä suuri kuin vapaa-ajan yhden yksikön lisäyksestä saatava lisähyöty jaettuna arvosanan yhden pisteen parannuksesta saatavalla lisähyödyllä. Likiarvo on tarkka silloin, kun yksiköt ovat pieniä, kuten yksikköjä sisältävissä matemaattisissa lausekkeissa yleensäkin.

Preferenssien konveksius

Kuvion 1 samahyötykäyrät loivenevat kuljettaessa käyriä pitkin oikealle.

rajasubstituutiosuhde
Kuvaa sitä, missä suhteessa päätöksentekijä on valmis vaihtamaan yhtä hyödykettä toiseen. Rajasubstituutiosuhde on samahyötykäyrän kulmakerroin. Englanniksi marginal rate of substitution (MRS). Katso myös: rajamuunnossuhde.

Alexein rajasubstituutiosuhde pienenee, jos hänen vapaa-aikansa lisääntyy ja arvosana heikkenee siten, että hyöty pysyy vakiona. Tätä preferenssien ominaisuutta sanotaan laskevaksi rajasubstituutiosuhteeksi. Kahden hyödykkeen välisiä samahyötykäyriä piirrettäessä rajasubstituutiosuhde yleensä oletetaan laskevaksi.

Oletuksen voi ilmaista matemaattisesti niin, että Alexein samahyötykäyrät ovat konvekseja. Jos kirjoitamme samahyötykäyrän yhtälön muotoon , niin on muuttujan laskeva ja konveksi funktio tietyllä vakion arvolla. Sanomme, että Aleksein preferenssit ovat konveksit.

Konveksit preferenssit tarkoittavat, että päätöksentekijä pitää kahden hyödykkeen yhdistelmää parempana kuin suurinta mahdollista määrää jompaakumpaa hyödykettä. Jos yhdistämme janalla kaksi samahyötykäyrän pistettä, jokainen janan piste vastaa päätepisteiden välille sijoittuvaa yhdistelmää. Konvekseilla preferensseillä kaikki tällaisen janan päätepisteiden väliset pisteet tuottavat aina suuremman hyödyn kuin päätepisteet.

Seuraavaksi tarkastelemme esimerkkifunktiota, jonka rajasubstituutiosuhde on laskeva.

Lisälukemista: Malcolm Pemberton ja Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4. painos. Manchester: Manchester University Press (hyödyn approksimoinnista osittaisderivaatoilla luvussa 14.2, korkeuskäyristä ja implisiittisestä derivoinnista luvussa 15.1).

Esimerkki: Cobb–Douglas-hyötyfunktio

Tarkastelemme nyt lähemmin erästä taloudellisissa malleissa paljon käytettyä hyötyfunktiota. Johdamme siitä rajahyötyjen ja rajasubstituutiosuhteen yhtälöt ja tutkimme niiden ominaisuuksia.

Alexei arvostaa edelleenkin hyvää tenttiarvosanaa ja vapaa-aikaa. Oletetaan hänen hyötyfunktiokseen

jossa ja ovat positiivisia vakioita. Tällä funktiolla on eräitä erittäin käteviä matemaattisia ominaisuuksia. Funktiota kutsutaan Cobb–Douglas-funktioksi sitä ensimmäisenä käyttäneiden taloustieteilijöiden mukaan.

Vapaa-ajan ja arvosanan rajahyödyt saadaan hyötyfunktion osittaisderivaatoista. Derivoimalla funktion muuttujan suhteen näemme, että vapaa-ajan rajahyöty on

Hyötyfunktion yhtälön perusteella , jolloin vapaa-ajan rajahyödylle saadaan yksinkertaisempi yhtälö:

Arvosanan rajahyöty on vastaavasti

Huomaa, että kun ja ovat positiivisia, myös on positiivinen. Koska oletimme, että myös on positiivinen, . Samoin oletuksesta seuraa, että . Olettamalla vakiot ja positiivisiksi varmistamme siis, että hyödykkeistä on hyötyä: Alexein hyöty kasvaa, kun vapaa-aika lisääntyy tai arvosana paranee.

Edellisessä Leibniz-osiossa määrittelimme vapaa-ajan ja arvosanan välisen rajasubstituutiosuhteen samahyötykäyrän itseisarvoksi. Osoitimme, että rajasubstituutiosuhde on vapaa-ajan rajahyödyn ja arvosanan rajahyödyn suhdeluku. Cobb–Douglas-hyötyfunktiolle

Samahyötykäyrät ovat laskevia tasossa . Kuljettaessa samahyötykäyrää pitkin oikealle kasvaa ja pienenee, jolloin pienenee. Koska ja ovat positiivisia, myös rajasubstituutiosuhde pienenee. Cobb–Douglas-hyötyfunktiossa rajasubstituutiosuhde on näin ollen laskeva.

Lisälukemista: Malcolm Pemberton ja Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4. painos (luvut 15.1 ja 15.2). Manchester: Manchester University Press.