Leibniz 3.4.1 Rajamuunnossuhde

Alexein opiskelupäätöksessä vaihtoehtoja rajaa vapaa-ajan ja arvosanan yhdistelmien mahdollisuuksien joukko. Alexein on siis tehtävä valinta: saadakseen hyvän arvosanan hänen on luovuttava osasta vapaa-aikaansa. Vapaa-ajan menetyksen ja arvosanan parannuksen yhteyttä mittaa rajamuunnossuhde. Tässä osiossa laskemme rajamuunnossuhteen tuotantofunktiosta.

Mahdollisuuksien rajan yhtälö

Kuvio 1 esittää Alexein mahdollisuuksien joukkoa. Käytimme mahdollisuuksien rajan piirtämiseen tuotantofunktiota, joka kuvasi tenttiarvosanan yhteyttä opiskeluun käytettyyn aikaan.

Kuvio 1 Miten Alexein valitsema vapaa-ajan määrä vaikuttaa arvosanaan?

Johdetaan mahdollisuuksien raja vielä matemaattisesti. Olkoon Alexein tuotantofunktio sama

jossa on tuotos eli tenttiarvosana, opiskeluun käytetty aika tunteina ja kasvava funktio.

Mahdollisuuksien raja on arvosanan ja vapaa-ajan välinen yhteys. Jos Alexei pitää vapaata tuntia, hänelle jää opiskeluaikaa

Sijoittamalla lausekkeen tuotantofunktioon saamme mahdollisuuksien rajan yhtälön:

Rajamuunnossuhteen laskeminen

Totesimme graafisesti, että rajamuunnossuhde MRT on yhteydessä mahdollisuuksien rajan kulmakertoimeen. Kulmakerroin on mahdollisuuksien rajan yhtälön derivaatta. Jos Alexei pitää vapaata tuntia, saamme selville hänen arvosanansa muutosnopeuden vapaa-ajan lisääntyessä soveltamalla yhdistetyn funktion derivointisääntöä eli derivoinnin ketjusääntöä:

Sieventämällä saamme

Koska on kasvava funktio, yhtälön oikea puoli on negatiivinen. Mahdollisuuksien raja on siis laskeva. Tämän näimme kuviosta. Mahdollisuuksien rajan kulmakerroin pisteessä on negatiivinen luku .

rajamuunnossuhde
Se hyödykkeen määrä, josta päätöksentekijän on luovuttava saadakseen yhden yksikön lisää toista hyödykettä. Rajamuunnossuhde on mahdollisuuksien rajan kulmakerroin. Englanniksi marginal rate of transformation (MRT). Katso myös: rajasubstituutiosuhde.

Negatiivinen kulmakerroin merkitsee, että arvosana laskee vapaa-ajan lisääntyessä. Rajamuunnossuhde tarkoittaa nopeutta, jolla arvosana paranee Alexein vähentäessä vapaa-aikaansa. Se on kulmakertoimen itseisarvo eli positiivinen luku:

Rajamuunnossuhteen tulkinta on seuraava: Jos vapaa-aika lisääntyy pienen määrän, vaikkapa tuntia, tenttiarvosana heikkenee noin pistettä. Jos taas vapaa-aika vähenee tuntia, tenttiarvosana paranee noin pistettä. Kuvio 2 esittää tuotantofunktiosta johdettua mahdollisuuksien rajaa. Sen muoto muistuttaa Alexein mahdollisuuksien rajaa. Tuotantofunktion alla on rajamuunnosuhteen kuvaaja. Se nousee siirryttäessä mahdollisuuksien rajaa pitkin oikealle, jolloin vapaa-aika lisääntyy ja tenttiarvosana laskee.

Rajamuunnossuhde kuvaa nopeutta, jolla Alexei joutuu luopumaan tenttipisteistä, jos hänen vapaa-aikansa lisääntyy. Se saadaan helposti tuotantofunktion derivaatasta. Koska opiskeluun käytetty tuntimäärä on , rajamuunnossuhde on sama kuin työn keskituotos . Rajamuunnossuhde kasvaa siirryttäessä mahdollisuuksien rajaa pitkin kohti suurempaa vapaa-ajan määrää ja pienempää opiskeluun käytettyä tuntimäärää. Tämä johtuu työn laskevasta rajatuotoksesta: koska on muuttujan laskeva funktio, kasvaa muuttujan arvon pienetessä.

Kuvio 2 Mahdollisuuksien raja ja sitä vastaava rajamuunnossuhde.