Leibniz 7.4.1 Samavoittokäyrät ja niiden kulmakertoimet

Yrityksen voitto on sen tulojen (hinta kerrottuna myydyllä määrällä) ja kokonaiskustannusten erotus. Jos tiedämme yrityksen kustannusfunktion , voimme määritellä sen samavoittokäyrät eli saman voiton tuottavat hinnan ja määrän yhdistelmät. Tässä Leibniz-osiossa johdamme samavoittokäyrän yhtälön, selitämme sen muotoa ja selvitämme sen kulmakertoimen.

Taloudellinen voitto on tulot vähennettyinä kustannuksilla. Ajattomien Autojen kaltaisen teollisuusyrityksen voitto riippuu tuotantomäärästä () ja hinnasta (), jolla kukin tuotosyksikkö myydään. Voiton merkintä on niin kuin ennenkin. Jos yrityksen kustannusfunktio on , sen voiton voi kirjoittaa muuttujien ja funktiona:

Samavoittokäyrät ovat -tason käyriä, joista jokainen vastaa tiettyä voittotasoa. Tyypillisen samavoittokäyrän yhtälö on muotoa

jossa on voittotasoa edustava vakio. Jokaiselle muuttujan arvolle on eri käyrä. Esitämme samavoittokäyrät kaaviossa niin, että on pystyakselilla. Siksi yhtälö kannattaa kirjoittaa muotoon, jossa on muuttujan funktio:

Yhtälö kertoo, että jos kasvaa, myös kasvaa kaikilla muuttujan arvoilla. Tämä tarkoittaa, että samavoittokäyrien kaaviossa ylempänä olevat käyrät vastaavat korkeampia voittotasoja. Tämä näkyy omena-kanelimurojen (kuvio 7.4) ja Ajattomien Autojen (kuvio 7.10) kaavioissa, jotka on kopioitu tähän kuvioiksi 1 ja 2.

Kuvio 1 Omena-kanelimurojen samavoittokäyrät.

Kuvio 2 Ajattomien Autojen samavoittokäyrät.

Selitämme nyt, miksi näiden yritysten samavoittokäyrät ovat kaaviossa esitetyn muotoisia. Voittoa vastaavan samavoittokäyrän yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon

tai yhtäpitävästi

Katsotaan ensin nollavoittokäyrää, jossa . Kun sijoitamme lausekkeen edellä mainittuun yhtälöön, näemme, että nollavoittokäyrä on keskikustannuskäyrä. Kaikissa tämän käyrän alapuolella olevissa pisteissä yritys tekisi tappiota. Kanelimurojen keskikustannus on vakio: jokaisen paunan tuottaminen maksaa kaksi euroa kokonaismäärästä riippumatta. Nollavoittokäyrä on vaakasuora hinnan arvolla . Ajattomilla Autoilla on U:n muotoinen keskikustannuskäyrä ja samaten U:n muotoinen nollavoittokäyrä.

Katsotaan nyt käyriä, jotka vastaavat positiivista voittoa, Silloin samavoittokäyrä kertoo, että on AC + . Huomaa, että kun on korkea, on pieni ja

Siten on muuttujan laskeva konveksi funktio.

Samavoittokäyrien muoto riippuu termistä ja AC-käyrän muodosta. Omena-kanelimurojen tapauksessa ratkaisu on yksinkertainen. AC on vaakasuora ja samavoittokäyrien yhtälö on . Samavoittokäyrät ovat siis laskevia ja konvekseja, niin kuin , kuten näemme kuviosta 1.

Ajattomien Autojen keskikustannuskäyrä on U:n muotoinen ja siten konveksi. Sen minimi on pisteessä B, jossa euroa. Myös voittoa vastaavan samavoittokäyrän on oltava konveksi, koska kahden konveksin funktion summa on aina konveksi (funktioiden summan toinen derivaatta on , joka on positiivinen, jos ja ovat positiivisia).

Jos , sekä että ovat muuttujan laskevia funktioita, joten samavoittokäyrä on laskeva. Jos on suuri, termin derivaatta on lähellä nollaa. Siten samavoittokäyrän kulmakerroin on melkein sama kuin termin kulmakerroin: samavoittokäyrä on nouseva (niin kuin keskikustannuskäyräkin). Siten termin samavoittokäyrä on keskikustannuskäyrän tapaan U:n muotoinen. Funktion minimi on jokin piste, jossa on positiivinen.

Olkoon funktion minimoiva arvo. Huomaa, että muuttuja riippuu vakiosta . Tiedämme, että kaikki samavoittokäyrät ovat laskevia, kunnes , joten : samavoittokäyrän minimi on pisteessä, jossa on nollavoittokäyrän alimman kohdan oikealla puolella. Samaan tapaan näemme, että jos kasvaa, myös kasvaa: suurempia voittoja vastaavien samavoittokäyrien minimi on vielä enemmän oikealla (kuvio 2).

Olemme nyt selittäneet, miksi Ajattomien Autojen samavoittokäyrät ovat U:n muotoisia. Toinen kuviosta 2 näkyvä ominaisuus on se, että rajakustannuskäyrä kulkee samavoittokäyrien alimpien kohtien kautta. Osoitimme Leibniz-osiossa 7.3.1, että tämä pätee keskikustannuskäyrälle (nollasamavoittokäyrälle), koska on aina etumerkiltään sama kuin keskikustannuskäyrän kulmakerroin. Sovellamme nyt samaa menettelyä muiden samavoittokäyrien kulmakertoimiin.

Voittoa vastaavalla samavoittokäyrällä

Tällöin on kahden termin erotus. Ensimmäinen termi on keskikustannuskäyrän kulmakerroin; osoitimme Leibniz-osiossa 7.3.1 (osamäärän derivoimissääntöä käyttämällä), että se on . Tiedämme samavoittokäyrän yhtälöstä, että . Siksi

Oikeaa puolta sieventämällä näemme, että

Tämä yhtälö kertoo, että samavoittokäyrän kulmakerroin missä tahansa pisteessä on . Kun on pieni, on suuri – rajakustannusta MC suurempi – ja käyrä on laskeva. Kun siis kasvaa, laskee; tätä jatkuu, kunnes . Ajattomien Autojen tapauksessa päädymme lopulta pisteeseen, jossa . Siinä pisteessä yhtälöstä näkee, että kulmakerroin on nolla: olemme samavoittokäyrän alimmassa kohdassa. Rajakustannuskäyrä on nouseva ja kulkee tämän pisteen kautta. Tämän pisteen jälkeen ja samavoittokäyrä ovat nousevia.

Entä omena-kanelimurot? Koska muropaunan yksikkökustannus on 2 euroa tuotantotasosta riippumatta, sekä rajakustannus että keskikustannus ovat 2 euroa. Nollasamavoittokäyrä ei ole vain keskikustannuskäyrä vaan myös rajakustannuskäyrä. Mikä tahansa samavoittokäyrä voidaan kirjoittaa muotoon . Jos , niin . Kulmakerroin on toisin sanoen aina negatiivinen. Kuten kuvio 1 kertoo, kaikki positiiviset samavoittokäyrät ovat laskevia mutteivät koskaan kohtaa rajakustannuskäyrää.

Lisälukemista: Malcolm Pemberton ja Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4. painos (luku 8). Manchester: Manchester University Press.