Leibniz 11.8.1 Hintakuplat

Rahoitusomaisuuden markkinoilla voi syntyä kuplia, koska kysyntä riippuu osittain rahoitusomaisuuden tulevaa jälleenmyyntihintaa koskevista odotuksista. Tässä Leibniz-osiossa rakennamme yksinkertaisen mallin, joka kuvaa Siipikiesi Oy:n osakkeen markkinoita. Malli osoittaa, miten tulevaisuuden hintaa koskevat odotukset voivat voimistaa hintasokkeja ja synnyttää kuplan, jossa hinnat nousevat kiihtyvästi.

Kuvitellaan, että Siipikiesi Oy:n osakkeille on kilpailulliset markkinat. Käytämme ajan yksikkönä viikkoa. Viikolla $t$ osakkeen kysyntä riippuu tuon viikon hinnasta $P_t$ sekä hinnan odotetusta lähitulevaisuuden muutoksesta $E_t$. Oletamme tavanomaisista syistä, että jokaisella muuttujan $E_t$ arvolla kysynnän määrä on hinnan $P_t$ laskeva funktio. Oletamme myös, että kun $P_t$ tunnetaan, kysynnän määrä on odotetun muutoksen $E_t$ kasvava funktio: spekulaatiota harjoittavat sijoittajat ostavat osakkeita sitä enemmän, mitä voimakkaampaa hinnannousua odotetaan, koska he odottavat pystyvänsä tulevaisuudessa myymään osakkeen voitolla.

Laskutehtävää helpottaaksemme oletamme kysyntä- ja tarjontafunktiot lineaarisiksi:

$$Q_t^D=a-bP_t + sE_t, \;\; Q_t^S=c+dP_t,$$

joissa $a,\ b,\ c,\ d,\ s$ ovat vakioita ja $b$, $d$ sekä spekulaatioparametri $s$ positiivisia vakioita. Tällöin kuvion 11.15 kysyntä–tarjonta-kaavioon (tässä kuviona 1) voidaan piirtää oma kysyntäkäyrä kullekin muuttujan $E_t$ arvolle. Jos $E_t$ kasvaa, kysyntäkäyrä siirtyy oikealle.

Kuvitellaan, että joka viikolla kysyntä ja tarjonta kohtaavat: $Q_t^D = Q_t^S$ kaikilla $t$. Tällöin viikon $t$ hinta määräytyy markkinoiden tasapainoa kuvaavasta yhtälöstä:

$$a-bP_t + sE_t = c+dP_t$$

kaikilla $t$, jolloin $P_t$ voidaan ratkaista odotusten $E_t$ suhteen:

$$P_t = \overline{P} + \frac{s}{b+d} E_t, \, \text{ jossa }\overline{P} = \frac{a–c}{b+d}$$

osakkeen substanssiarvo

Osakkeen hinta, joka perustuu arvioituun tulevaan tulokseen ja riskitasoon. Englanniksi fundamental value.

Huomaa, että ilman hinnanmuutosodotuksia hinta olisi joka viikolla $\overline{P}$. $\overline{P}$ kuvaa osakkeen substanssiarvoa.

Hinnan ajallisen vaihtelun tutkimiseksi on tehtävä oletuksia markkinoiden odotuksista. Tarkastellaan tapausta, jossa odotukset vastaavat todellisuutta mahdollisimman tarkasti viikosta $1$ eteenpäin: markkinaosapuolet ennustavat hinnanmuutokset oikein. Tällöin

$$E_t = P_{t+1} - P_t,$$

kun $t=1,\ 2, \ldots \,$ ja niin edelleen. Sijoittamalla tämän lausekkeen edelliseen yhtälöön muuttujan $E_t$ paikalle saamme yhtälön

$$(b+d)(P_t - \overline{P}) = s(P_{t+1} - P_t).$$

Järjestellään termit:

$$P_{t+1} - \overline{P} = R(P_t - \overline{P}), \, \text{ jossa }R= \frac{b+d+s}{s}\gt1$$

Tämä on alaluvussa 11.8 esitellyn hintadynamiikkakuvaajan yhtälö. Se kuvaa hinnan ajallista vaihtelua. Jos alkuhetkenä 0 hinta on yhtä suuri kuin substanssiarvo eli $P_0 = \overline{P}$, hinta on $\overline{P}$ myös hetkinä 1, 2 ja siitä eteenpäin, ellei markkinoita kohtaa jokin sokki.

Tasapaino on kuitenkin epävakaa, koska $R \gt 1$. Tämä seuraa odotusmallistamme sekä oletuksistamme, joiden mukaan kysyntäkäyrät ovat laskevia ($b \gt 0$), tarjontakäyrät nousevia ($d \gt 0$) ja markkinoilla esiintyy spekulaatiota ($s \gt 0$).

Jos hinta hetkenä 1 nousee tilapäisesti sokin seurauksena niin, että $P_1 \gt \overline{P}$, hetkenä 2 hinta nousee jälleen: hintadynamiikkakuvaajasta seuraa, että $P_2$ on kauempana substanssiarvosta kuin $P_1$. Seuraavana hetkenä se nousee edelleen.

Tämä tapaus on kuvattu alaluvun 11.8 kuviossa 11.18, joka on myös alla kuviona 2. Hetkenä 0 markkinat ovat tasapainossa ($P_0 = \overline{P}$). Oikeanpuoleisessa kaaviossa on hintadynamiikkakuvaaja, joka kuvaa suureiden $P_t$ ja $P_{t+1}$ yhteyttä. Se leikkaa 45 asteen kulmassa nousevan suoran pisteessä $P_0.$ Koska $R \gt 1$, hintadynamiikkakuvaaja nousee tätä suoraa jyrkemmin; kun markkinat hetkenä 1 siirtyvät pois tasapainosta sokin seurauksena, hinta nousee edelleen jokaisena hetkenä.

Kuviosta 2 nähdään, että hinta loittonee tasapainosta kiihtyvästi. Hinnan muutos on jokaisena hetkenä suurempi kuin edeltävänä hetkenä. Matemaattinen mallimme ennustaa dynamiikkaa oikein. Osoitamme sen järjestelemällä äskeisen yhtälön termit uudelleen:

$$P_{t+1} - P_t=\frac{b+d}{s}(P_t-\overline{P}),$$

jolloin

$$P_{t+2} - P_{t+1}=\frac{b+d}{s}(P_{t+1}-\overline{P}).$$

Koska $P_{t} = \overset{\overline{}}{P} - \frac{s}{b + d}E_{t}$ ja $E_{t} = P_{t + 1} - P_{t}$, yhtälöstä seuraa, että

$$\frac{P_{t+2} - P_{t+1}}{P_{t+1} - P_{t}}=\frac{P_{t+1}-\overline{P}}{ P_{t}-\overline{P}}=R.$$

Jälleen $R \gt 1$, jolloin voimme päätellä, että hinnanmuutos kasvaa jokaisena hetkenä eli hinnan nousuvauhti kiihtyy.

Kyseessä on klassinen kupla: hinta nousee rajattomasti, koska sen odotetaan nousevan, ja hinnannousu jatkuu niin kauan kuin odotukset pitävät paikkansa. Samoin jos $P_1\lt\overline{P}$, hinta laskee jatkuvasti yhä nopeammin. Mallimme mukaan hinta muuttuisi lopulta negatiiviseksi, mitä ei yleensä satu. Mallista tunnetaan kuitenkin myös epälineaarisia muunnelmia, joissa hinta pysyy positiivisena ja laskee laskemistaan muttei koskaan nollaan asti.

Käyttämämme tarjontafunktio on niin pelkistetty, ettei sillä voisi kuvata läheskään kaikkien omaisuuserien markkinoita. Esimerkiksi asuntomarkkinoilla kysynnän voi ajatella riippuvan asuntojen hinnoista ja niiden odotetusta muutosvauhdista (jotka yhdessä korkokannan kanssa määräävät vuokra-asumisen kustannuksen), kun taas uusien asuntojen tarjonta riippuu sen hetken hinnasta. Olkoon $Q_t$ asuntokanta viikolla $t$. Tuotantofunktion pitäisi silloin näyttää tämänkaltaiselta:

$$Q_t^S=c+dP_t +(1 - \delta) Q_{t-1},$$

jossa $\delta$ kertoo, kuinka nopeasti arvo alenee ($0\lt \delta \lt1$). Malli muuttuu matemaattisesti paljon monimutkaisemmaksi, mutta lopputulos on silti periaatteessa sama. Jokaisella tarjonnan $Q_0$ arvolla on täsmälleen yksi alkutilanteen hinta – merkitään sitä vaikkapa $F(Q_0)$ – jolle pätee, että jos $P_1= F(Q_0)$, niin $P_t$ pysyy kaikilla $t\gt1$ tietyllä vaihteluvälillä. Muutoin $P_t$ kasvaa rajattomasti tai romahtaa.

Lisälukemistoa: Malcolm Pemberton ja Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4. painos, luku 5.1. Manchester: Manchester University Press.