Leibniz

2.2.1 Introduction aux suppléments Leibniz

Les suppléments Leibniz vous montreront comment des mathématiques plus sophistiquées, en particulier le calcul infinitésimal, peuvent être utilisées dans les modèles économiques. Vous n’en avez pas besoin pour comprendre nos modèles, mais les suppléments peuvent vous aider si vous prenez des cours d’économie plus avancés ou des cours de mathématiques. Dans ce premier supplément Leibniz, nous expliquons d’où vient le nom et nous introduisons quelques notations de base.

Qui a inventé le calcul infinitésimal ?

La controverse scientifique la plus célèbre de tous les temps fut sans toute celle entre Sir Isaac Newton et Gottfried Leibniz à propos de l’invention du calcul infinitésimal.

Isaac Newton

Portrait par Sir Godfrey Kneller, Wikipedia/Wikimedia Commons

Sir Isaac Newton (1642–1726) était un mathématicien et physicien anglais, reconnu comme étant l’un des scientifiques les plus influents de tous les temps. En plus d’inventer le calcul infinitésimal, il a découvert la loi de la gravité, a posé les bases de la mécanique classique, a apporté des contributions significatives à la théorie de l’optique et a formulé une loi de refroidissement. En tant que Maître de la Monnaie Royale sous trois monarques, Newton fonda l’étalon-or, qui fut au cœur du système monétaire international pendant près de 200 ans.

Newton utilisa des méthodes de calcul infinitésimal pour la première fois dans un manuscrit publié en 1666. Ces méthodes étaient ensuite utilisées dans son livre Les principes mathématiques de la philosophie naturelle, publié en 1687. Il termina la rédaction d’un livre sur le calcul infinitésimal intitulé Methods of Fluxions en 1671, mais ne le publia qu’en 1736.

Gottfried Wilhelm von Leibniz

Portrait par Andreas Scheits, Wikipedia/Wikimedia Commons

Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646–1716) était un mathématicien et physicien allemand. En 1675, il utilisa le calcul intégral pour déterminer l’aire sous une courbe et il introduisit le S étiré, , que nous utilisons pour représenter une intégrale, et , pour une différentielle. Son travail en philosophie se concentra sur le principe d’optimisme, selon lequel Dieu aurait créé le meilleur de tous les mondes possibles. Son traité sur le sujet, Theodicee, fut toutefois raillé par Voltaire dans le roman Candide.

Les partisans de Newton accusèrent Leibniz de plagiat dans son travail sur le calcul infinitésimal. À l’approche de sa mort, sa réputation s’était étiolée et il mourut pauvre. Son image fut ensuite réparée à la fois par des mathématiciens et des philosophes.

Les historiens modernes acceptent le fait que Newton et Leibniz aient inventé le calcul infinitésimal indépendamment l’un de l’autre, environ au même moment. Ainsi, au moment de décider quel nom porteraient nos suppléments de calcul infinitésimal, nous avons joué à pile ou face. C’est Leibniz qui est sorti vainqueur.

Notations et conventions

De nombreux suppléments Leibniz contiennent des recommandations de lectures additionnelles, qui, dans la plupart des cas, se réfèrent à des extraits tirés de : Malcolm Pemberton and Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4th ed. Manchester: Manchester University Press.

Fonctions à une variable

fonction à une variable, où est l’argument et le résultat
dérivée de premier ordre de
notation alternative pour la dérivée de
dérivée seconde de
notation alternative pour la dérivée seconde de

Intégration

fonction à une variable, où est l’argument et le résultat (la production)
intégrale indéfinie de
intégrale définie de , allant de à

Fonctions à deux variables

fonction à deux variables, où et sont les arguments et est le résultat
dérivée partielle de par rapport à ; est considéré comme une constante
dérivée partielle de par rapport à ; est considéré comme une constante
dérivée de second ordre de par rapport à ; est considéré comme une constante
dérivée de second ordre de par rapport à ; est considéré comme une constante
dérivée partielle mixte ; dérivée de premier ordre de par rapport à
dérivée partielle mixte ; dérivée de premier ordre de par rapport à
dérivée partielle mixte quand et sont égales