Leibniz

3.1.2 Productivité marginale décroissante

La fonction de production d’Alexei a comme propriété la décroissance de la productivité marginale. Nous pouvons le voir graphiquement : la courbe devient plus plate à mesure que le temps passé à étudier par jour augmente. Qu’est-ce que cela implique pour les propriétés mathématiques de la fonction de production ?

Si la fonction de production est , la productivité marginale du travail est , donc elle décroit quand augmente si :

ou, de manière équivalente :

C’est-à-dire que la dérivée seconde de la fonction de production est négative.

Un exemple

Considérez de nouveau la fonction de production :

et sont des constantes telles que et . Nous avons montré dans le supplément Leibniz 3.1.1 que, pour cette fonction de production,

qui est positive tant que le nombre d’heures d’étude est positif. Ce que nous voulons montrer ensuite, c’est, qu’à mesure que le nombre d’heures augmente, cette productivité marginale devient de plus en plus petite.

Une manière de le voir est de se concentrer sur l’expression :

est élevé à la puissance , qui est négative puisque . Souvenez-vous de la propriété des exposants négatifs selon laquelle quand augmente, diminue. Comme et sont positifs, , la productivité marginale du travail, diminue aussi.

Nous pouvons également montrer que la productivité marginale est décroissante en calculant sa dérivée :

Quand est positif, nous savons que est positif aussi. Alors quand , , et donc :

C’est ce que nous voulions montrer : la dérivée seconde de la fonction de production est négative, donc la productivité marginale décroit quand augmente. En d’autres termes, la productivité marginale du travail est décroissante.

Dans le supplément Leibniz 3.1.1 nous avons montré que quand , la productivité marginale est inférieure à la productivité moyenne. Cette propriété est étroitement liée au concept de productivité marginale décroissante : si la productivité marginale d’une fonction de production est décroissante pour toutes les valeurs du facteur de production, alors il est aussi vrai que la productivité marginale est inférieure à la productivité moyenne (PmT < PMT).

La Figure 2 montre le graphique d’une fonction de production dans le cas où et , ainsi que le graphique de la productivité marginale du travail. Pour chaque valeur de , le graphique supérieur montre la valeur de et le graphique inférieur montre la valeur de la pente de la fonction de production, . Vous pouvez voir que la productivité marginale du travail décroît en .

La fonction de production y = 30h0.4 et la productivité marginale correspondante.

Figure 2 La fonction de production y = 30h0.4 et la productivité marginale correspondante.

Pour en savoir plus : Sections 6.4 et 8.4 de Pemberton et Rau (2016).