Leibniz

3.1.3 Fonctions concaves et convexes

Le concept de productivité marginale décroissante correspond à la propriété mathématique de la concavité. Comprendre les concepts mathématiques des fonctions concaves et convexes nous permet d’approfondir notre compréhension des propriétés économiques des fonctions de production.

fonction concave
Une fonction de deux variables pour laquelle le segment joignant deux points sur la fonction (peu importe lesquels) se situe entièrement sous la courbe représentant la fonction (la fonction est convexe quand le segment se situe au-dessus de la fonction).

Nous avons vu dans le supplément Leibniz 3.1.2 que dans le cas de la fonction de production , avec et , la productivité marginale du travail est décroissante. Cela signifie que lorsque l’on se déplace vers la droite le long de la courbe de la fonction de production, la pente de la courbe diminue. Une fonction avec cette propriété est dite concave.

Une conséquence de la concavité (et sa définition algébrique) est que « la fonction de la moyenne est supérieure à la moyenne de la fonction ». Pour illustrer le sens de cette affirmation, supposez que pour une fonction nous prenions deux valeurs quelconques et . Alors :

L’expression à gauche correspond à la fonction de la moyenne des deux valeurs et l’expression à droite correspond à la moyenne de la fonction des deux valeurs. (Pour comprendre pourquoi l’inégalité est vérifiée, dessinez une fonction de production concave, choisissez deux valeurs sur l’axe des abscisses et trouvez les points sur le graphique qui correspondent aux deux moyennes.)

Nous pouvons donner une interprétation économique très simple à cette propriété. Pour comprendre ce qu’elle signifie, considérez l’exemple suivant.

Supposez qu’Alexei ait une fonction de production comme celle ci-dessus, avec et ; c’est-à-dire :

Il vient juste de commencer l’université et il considère deux manières différentes d’organiser son temps. Puisqu’il ne connaît encore personne, il pense qu’il vaudrait mieux passer le premier semestre à se faire des amis. Pour l’examen de fin de premier semestre, il étudiera donc en moyenne heure par jour. Après s’être fait des amis, il pourra commencer à étudier à son plein potentiel. Il étudiera donc heures par jour tous les jours pendant le second semestre. D’après sa fonction de production, il devrait obtenir la note de à l’examen du premier semestre et la note de à l’examen du second semestre. Il devrait obtenir une note moyenne aux examens de .

Une alternative serait de travailler plus régulièrement ses relations sociales et son travail académique, en étudiant heures par jour tous les jours pendant les deux semestres. Remarquez qu’en utilisant cette stratégie, il renonce à autant d’heures de temps libre que dans l’alternative précédente ; la quantité totale de facteur de production est la même dans les deux cas. À quelle note peut-il s’attendre ? Il devrait obtenir à chaque semestre, ce qui lui donne une moyenne de .

En comparant les deux stratégies possibles, Alexei réalise que dans son cas, il vaut mieux travailler lentement mais de manière régulière, puisque son résultat final est plus élevé quand les heures sont constantes que lorsqu’elles fluctuent. C’est l’implication économique de la concavité.

Par contre, si nous avions supposé que , nous aurions trouvé un résultat final plus élevé quand les heures fluctuent : dans ce cas, Alexei apprend plus lorsqu’il étudie de manière intense pendant une plus courte période. Quand , la pente de la courbe de la fonction de production augmente à mesure que le nombre d’heures augmente, donc la productivité marginale est croissante plutôt que décroissante, comme dans la Figure 3 ci-dessus, dans laquelle . La fonction de production est alors convexe au lieu de concave. Un cas particulier est la fonction : en dérivant, vous pouvez vérifier que pour cette fonction de production, la courbe de la productivité marginale du travail est une droite croissante.

La fonction de production y = 1,5h1,6 et la productivité marginale correspondante.

Figure 3 La fonction de production y = 1,5h1,6 et la productivité marginale correspondante.

Pour en savoir plus : Section 8.4 de Malcolm Pemberton and Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4th ed. Manchester: Manchester University Press.