Leibniz 3.4.1

Grenzrate der Transformation

Für eine Einführung in die Leibniz-Abschnitte, lesen Sie bitte „Einführung in die Leibnize“.

Alexeis Entscheidung, wie viel er lernen soll, wird durch die realisierbare Menge an Kombinationen aus Freizeit und Notenpunkten eingeschränkt. Er muss also einen Trade-Off eingehen: Um am Ende seines Kurses ein gutes Ergebnis zu erzielen, muss er etwas Freizeit opfern. Die Grenzrate der Transformation (GRT) misst das Ausmaß dieses Trade-Offs. Hier zeigen wir, wie die GRT anhand der Produktionsfunktion berechnet werden kann.

Die Gleichung der Machbarkeitsgrenze

Abbildung 1 zeigt die realisierbare Menge von Alexei. Erinnern Sie sich daran, dass wir die Machbarkeitsgrenze anhand einer Produktionsfunktion konstruiert haben, die die Prüfungsnote mit den Lernstunden in Beziehung setzt.

Wie wirkt sich Alexeis Wahl der Freizeit auf seine Note aus?
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Abbildung 1 Wie wirkt sich Alexeis Wahl der Freizeit auf seine Note aus?

Um das mathematisch zu veranschaulichen, soll Alexeis Produktionsfunktion (wie zuvor) lauten:

wobei sein Output (die Prüfungsnote) und seine Lernstunden sind, und eine steigende Funktion ist.

Die Machbarkeitsgrenze ist die Beziehung zwischen der Note und der freien Zeit. Wenn Alexei Stunden Freizeit nimmt, sind seine Lernstunden:

Wenn wir dies in die Produktionsfunktion einsetzen, erhalten wir die Gleichung für die Machbarkeitsgrenze:

Berechnung der Grenzrate der Transformation

Wir haben anhand eines Diagramms gesehen, dass die GRT mit der Steigung der Machbarkeitsgrenze zusammenhängt. Wir können die Steigung ermitteln, indem wir die Gleichung der Machbarkeitsgrenze ableiten. Wenn Alexei Stunden Freizeit hat, ist die Rate, mit der sich seine Note mit zunehmender Freizeit ändert, gegeben durch:

unter Verwendung der Regel für zusammengesetzte Funktionen (manchmal auch Kettenregel genannt). Vereinfachend,

Die rechte Seite dieser Gleichung ist negativ, da eine steigende Funktion ist. Die Grenze verläuft also abwärts, wie im Diagramm dargestellt. Die Steigung der Machbarkeitsgrenze am Punkt ist die negative Größe .

Grenzrate der Transformation (GRT)
Die Menge eines Gutes, die geopfert werden muss, um eine zusätzliche Einheit eines anderen Gutes zu erwerben. Sie ist die Steigung der Machbarkeitsgrenze an jedem Punkt. Siehe auch: Grenzrate der Substitution.

Die negative Steigung sagt uns, dass die Note mit zunehmender Freizeit abnimmt. Die Grenzrate der Transformation (GRT) ist die Rate, mit der die Note zunimmt, wenn die freie Zeit aufgegeben wird. Sie wird durch den absoluten Wert der Steigung, eine positive Größe, angegeben:

Die Bedeutung der GRT ist wie folgt: Wenn sich die freie Zeit um einen kleinen Betrag, sagen wir Stunden, erhöht, sinkt die Prüfungsnote um ungefähr Notenpunkte. Oder wenn die freie Zeit um Stunden abnimmt, erhöht sich die Prüfungsnote um ungefähr Notenpunkte. Abbildung 2 zeigt die Machbarkeitsgrenze für die Produktionsfunktion (die eine ähnliche, aber nicht identische Form wie Alexeis Machbarkeitsgrenze hat). Das untere Feld zeigt die GRT, die ansteigt, wenn wir uns entlang der Grenze nach rechts bewegen, wodurch sich die freie Zeit erhöht und die Prüfungsnote sinkt.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die GRT die Rate misst, mit der Notenpunkte aufgegeben werden müssen, wenn die Stunden der Freizeit zunehmen, und sie kann durch einfache Differenzierung der Produktionsfunktion ermittelt werden. Da die Anzahl der Lernstunden gleich ist, ist die GRT gleich dem Grenzprodukt der Arbeit . Die Tatsache, dass die GRT steigt, wenn wir uns entlang der Grenze in Richtung mehr Freizeit und weniger Lernstunden bewegen, ist eine Folge des abnehmenden Ertrags der Arbeit: Da eine abnehmende Funktion von ist, steigt sie, wenn fällt.

Die Machbarkeitsgrenze , und die entsprechende Grenzrate der Transformation.
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Abbildung 2 Die Machbarkeitsgrenze , und die entsprechende Grenzrate der Transformation.