Leibniz 3.7.1

Mathematik der Einkommens- und Substitutionseffekte

Für eine Einführung in die Leibniz-Abschnitte, lesen Sie bitte „Einführung in die Leibnize“.

Wir haben gesehen, dass bei der Entscheidung, wie viele Stunden pro Tag Sie arbeiten möchten, die Auswirkungen einer Änderung Ihres Stundenlohns auf Ihre Entscheidung grafisch in einen Einkommenseffekt und einen Substitutionseffekt zerlegt werden können. Dieser Leibniz-Abschnitt zeigt, wie man diese Zerlegung mathematisch durchführen kann.

Wir haben die Entscheidung über die Arbeitszeit modelliert, indem wir angenommen haben, dass Sie Ihren Konsum und Ihre Freizeit wählen, um Ihren Nutzen zu maximieren, da Ihr Konsum davon abhängt, wie viel Sie verdienen. Wir können dies mathematisch als beschränktes Optimierungsproblem formulieren:

wobei Ihr Stundenlohn und das Einkommen ist, das Sie unabhängig von Ihrer Arbeitszeit erhalten würden (zum Beispiel von der mysteriösen wohltätigen Person).

Wir werden dieses Problem für eine bestimmte Nutzenfunktion lösen

um die optimale Wahl der freien Zeit zu finden. Dann können wir berechnen, wie sich die Lösung ändert, wenn sich der Lohn ändert, und die Änderung in einen Einkommenseffekt und einen Substitutionseffekt zerlegen.

Die Bedingung erster Ordnung für die Optimierung setzt die Grenzrate der Transformation (GRT) mit der Grenzrate der Substitution (GRS) gleich. Wie wir im Text gesehen haben, ist Ihre GRT . Um dies direkt zu sehen, erinnern Sie sich, dass die Budgetbeschränkung die Gleichung der Machbarkeitsgrenze ist. Die GRT ist der absolute Wert der Steigung der Machbarkeitsgrenze:

Die GRS kann mit der Formel berechnet werden, die Sie von früheren Leibniz-Abschnitten kennen:

In diesem Fall ergibt die Bedingung erster Ordnung GRS = GRT also , oder äquivalent . Die optimalen Werte von und werden durch die Lösung eines Paares von Gleichungen gefunden, der Bedingung erster Ordnung und der Beschränkung:

Die Lösung ist:

Die optimale Anzahl von Stunden Freizeit ist also eine Funktion des Stundenlohns und des Zusatzeinkommens mit den folgenden partiellen Ableitungen:

Diese beiden partiellen Ableitungen sagen uns, wie sich die gewählten Stunden Freizeit ändern werden, wenn sich der Lohn oder das Einkommen ändert. Die Ungleichung sagt uns, dass bei dieser Nutzenfunktion die freie Zeit zunimmt, wenn das Einkommen steigt und sich der Lohn nicht ändert. Aus sehen wir, dass abnimmt, wenn steigt und sich das Einkommen nicht ändert.

Mit anderen Worten: Der Gesamteffekt einer Lohnerhöhung bei unverändertem Einkommen , gegeben durch , ist negativ. Dieser Gesamteffekt kann in Einkommens- und Substitutionseffekte zerlegt werden. Anhand eines numerischen Beispiels wollen wir dies veranschaulichen.

Ein numerisches Beispiel

Nehmen wir an, dass und . Wenn wir diese Werte in die Gleichungen für die obige Lösung einsetzen, stellen wir fest, dass die optimale Wahl der Stunden der Freizeit und der Geldsumme des Konsums wie folgt ist:

Die Höhe des Nutzens ist .

Nehmen wir nun an, der Lohn steigt auf 25, während das Einkommen bei 160 bleibt. Wir werden zunächst den Gesamteffekt der Lohnerhöhung auf die Wahl der Freizeit ermitteln und ihn dann zerlegen.

1. Was ist der Gesamteffekt der Lohnerhöhung?

Bei und ist die optimale Wahl für und :

Das Level des Nutzens steigt auf .

Wir sehen, dass die Erhöhung des Lohns von 16 auf 25 bei einem gleichbleibenden Einkommen von 160 insgesamt zu einer Verringerung der freien Zeit führt:

2. Welche Änderung des Einkommens hätte den gleichen Nutzen wie die Lohnerhöhung?

Nehmen wir an, der Lohn wäre bei geblieben, aber das Einkommen hätte sich von 160 auf geändert. Um ein Nutzenlevel von 5776 zu erreichen, muss die Gleichung erfüllen:

Wir können diese Gleichung schreiben als . Wenn wir die Quadratwurzel aus beiden Seiten ziehen (nur die positive Quadratwurzel ist wirtschaftlich sinnvoll), erhalten wir und damit .

Eine Erhöhung des Einkommens von 160 auf 224, während der Lohn bei 16 bleibt, hätte also den gleichen Effekt auf den Nutzen wie eine Lohnerhöhung von 16 auf 25.

3. Ermittlung des Einkommenseffekts

Dazu berechnen wir, wie sich die Einkommensänderung, die der Lohnänderung entspricht, auf die Wahl der Freizeit auswirken würde.

Bei einer Erhöhung des Einkommens auf 224 und einem Lohn von 16, ist die optimale Wahl der Freizeitstunden:

Dies zeigt uns den Einkommenseffekt der Lohnerhöhung. Die Lohnerhöhung erhöht den Nutzen auf 5776. Wäre dies stattdessen durch eine Einkommenserhöhung erreicht worden, hätten sich die Freizeitstunden von auf verändert. Der Einkommenseffekt ist .

4. Ermittlung des Substitutionseffekts

Der Gesamteffekt der Lohnerhöhung besteht darin, dass sich die freie Zeit von auf ändert. Er ist die Summe aus dem Einkommenseffekt (der Veränderung von zu ) und dem Substitutionseffekt, der also die Veränderung von zu ist.

Einkommenseffekt
Substitutionseffekt
Gesamteffekt

Der Substitutionseffekt ist die Auswirkung auf die Wahl der Freizeit, wenn der Lohn von 16 auf 25 geändert wird, aber auch das Einkommen angepasst wird, um den Nutzen konstant bei 4624 zu halten.

Lesen Sie mehr: Abschnitte 14.1, 17.1 und 17.3 von Malcolm Pemberton und Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4th ed. Manchester: Manchester University Press.