Leibniz 3.1.3 Konkaavi ja konveksi funktio

Laskevan rajatuotoksen käsite vastaa funktion matematiikassa ominaisuutta nimeltä konkaavius. Perehdymme tässä Leibniz-osiossa tarkemmin konkaavien ja konveksien funktioiden matemaattisiin ominaisuuksiin, jotka on hyödyllistä tuntea tuotantofunktioiden taloudellisia ominaisuuksia opiskellessa.

konkaavi funktio

Kahden muuttujan funktio on konkaavi eli ylöspäin kupera, jos funktion kuvaajan minkä tahansa kahden pisteen välille piirretty jana on kokonaisuudessaan funktion kuvaajan alapuolella tai kuvaajalla. Jos jana on funktion kuvaajan yläpuolella, funktio on konveksi. Englanniksi concave function.

Leibniz-osiossa 3.1.2 osoitimme, että tuotantofunktiolle $y = Ah^\alpha$, jossa $A \gt 0$ ja $0 \lt \alpha \lt 1$, työn rajatuotos on laskeva. Se tarkoittaa, että tuotantofunktion kuvaajan kulmakerroin pienenee kuljettaessa kuvaajaa pitkin oikealle. Tällaista funktiota sanotaan konkaaviksi.

Konkaaviudesta ja sen matemaattisesta määritelmästä seuraa, että funktion arvo kahden pisteen keskiarvon kohdalla on suurempi kuin funktion näissä pisteissä saamien arvojen keskiarvo. Havainnollistamme tämän ominaisuuden merkitystä tarkastelemalla, mitä arvoja funktio $f(h)$ saa kahdella mielivaltaisella muuttujan h arvolla $h_0$ ja $h_1$. Tällöin

$$f\left(\frac{h_0+h_1}{2}\right) \gt \frac{f(h_0)+f(h_1)}{2}.$$

Yhtälön vasen puoli on funktion arvo pisteiden keskiarvossa; oikea puoli on funktion arvojen keskiarvo. (Voit todeta erisuuruuden itse piirtämällä koordinaatistoon konkaavin tuotantofunktion, valitsemalla vaaka-akselilta kaksi arvoa ja merkitsemällä kaavioon kummatkin keskiarvot.)

Tämä ominaisuus saa taloustieteessä näpsäkän tulkinnan, joka välittyy parhaiten esimerkin avulla.

Oletetaan, että Aleksein tuotantofunktio on kuten yllä ja $A = 20$ ja $\alpha = 0,5$:

$$y = 20\sqrt{h}$$

Alexei on vasta aloittanut yliopistossa ja punnitsee kahta erilaista ajankäyttösuunnitelmaa. Koska hän ei tunne yliopistolta vielä ketään, hän suunnittelee omistavansa syyslukukauden opiskelijaelämälle, jolloin keskimääräiseksi päivittäiseksi opiskeluajaksi lopputenttiä varten tulisi $0$ tuntia. Verkostonsa rakennettuaan hän aikoo kevätlukukaudella satsata kaikkensa opiskeluun ja päntätä joka päivä $9$ tuntia. Tuotantofunktio kertoo, että tämä suunnitelma toisi Alexeille syyslukukauden lopputentistä arvosanan $20\sqrt{0} =0$ ja kevätlukukauden lopputentistä arvosanan $20\sqrt{9} =60$. Keskimääräiseksi arvosanaksi tulee silloin $\frac{1}{2}\times 0 + \frac{1}{2}\times 60=30$.

Alexein toinen vaihtoehto on jakaa aikansa tasaisemmin opiskelijaelämän ja varsinaisten opintojen välillä, jolloin hän opiskelisi kummallakin lukukaudella päivittäin $4,5$ tuntia. Huomaa, että tässä strategiassa Alexei uhraa yhteensä yhtä paljon vapaa-aikaa kuin ensimmäisessäkin vaihtoehdossa: panosten kokonaismäärä on sama. Millaisia arvosanoja hän voi odottaa? Hän saa lopputentistä kummallakin lukukaudella $20\sqrt{4,5} = 42,4$, jolloin keskimääräinen arvosana on $42,4$.

Strategioiden vertailu kertoo, että Alexein todella kannattaa opiskella tasaisen uutterasti, koska vakioinen tuntimäärä tuottaa suuremman kokonaistuotoksen kuin jyrkästi vaihteleva tuntimäärä. Se on konkaaviuden taloustieteellinen seuraus.

Jos olisimmekin olettaneet, että $\alpha \gt 1$, vaihteleva tuntimäärä olisi tuottanut suuremman kokonaistuotoksen: tällöin Alexei saavuttaisi paremman opiskelutuloksen lyhyellä mutta kiivaalla työrupeamalla. Kun $\alpha \gt 1$, tuotantofunktion kuvaajan kulmakerroin kasvaa tuntimäärän myötä, jolloin työn rajatuotos onkin kasvava. Esimerkiksi kuviossa 3 $\alpha =1,6$. Tällainen tuotantofunktio on konveksi. Erikoistapaus on tuotantofunktio $y=Ah^2$: derivoimalla voit todeta, että työn rajatuotoksen kuvaaja on nouseva suora.

Lisälukemista: Malcolm Pemberton ja Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4. painos (luvut 15.1 ja 15.2). Manchester: Manchester University Press.