Leibniz 3.5.1 Vapaa-ajan optimaalinen allokaatio: MRT = MRS

Alexei haluaa saada tentistä mahdollisimman hyvän arvosanan ja pitää mahdollisimman paljon vapaa-aikaa. Näytimme graafisesti, että hän maksimoi hyötynsä valitsemalla pisteen, jossa jokin hänen samahyötykäyränsä sivuaa mahdollisuuksien rajaa. Tällaisessa pisteessä rajasubstituutiosuhde MRS on yhtä suuri kuin rajamuunnossuhde MRT. Tässä Leibniz-osiossa esitämme Alexein päätöksen matemaattisesti rajoitettuna optimointiongelmana ja ratkaisemme siitä optimaalisen arvosanan ja vapaa-ajan yhdistelmän.

Kuvio 1 esittää optimaalisen vapaa-ajan ja tenttiarvosanan yhdistelmän valintaa. Alexein mahdollisuuksien joukko ja samahyötykäyrät on piirretty samaan koordinaatistoon. Optimaalinen piste on mahdollisuuksien rajan piste E, jossa mahdollisuuksien rajan kulmakerroin ja samahyötykäyrän kulmakerroin ovat yhtä suuret.

Alexein tuotantofunktio on $U(t,\ y)$. Hyöty on vapaa-ajan t ja tenttiarvosanan y kasvava funktio. Alexei haluaa maksimoida hyötynsä arvosanan ja vapaa-ajan mahdollisuuksien joukon sanelemissa rajoissa. Jos Alexein tuotantofunktio on $y=f(h)$, jossa h on opiskeluun käytetty tuntimäärä (katso Leibniz-osio 3.4.1), mahdollisuuksien rajan yhtälöksi saadaan

$$y = f(24 - t).$$

Alexein tehtävänä on siis valita t ja y siten, että $U(t,\ y)$ maksimoituu, kun huomioidaan ehto $y=f(24 - t)$.

rajoitettu optimointiongelma

Valintaongelma, jossa päätöksentekijä valitsee yhden tai useamman muuttujan arvon saavuttaakseen tavoitteensa, kun häntä koskee jokin rajoite, joka määrää mahdollisuuksien joukon. Tavoite voi olla esimerkiksi voiton maksimointi ja rajoite kysyntäkäyrä. Englanniksi constrained optimisation problem.

Tällaista asetelmaa nimitetään matematiikassa rajoitetuksi optimointiongelmaksi. Ongelmaan liittyvä rajoite voidaan ilmaista epäyhtälönä $y \leq f(24 - t)$, jonka voi tulkita niin, että Alexein on valittava jokin mahdollisuuksien joukon piste. Tiedämme kuitenkin, että Alexei haluaa valita mahdollisuuksien rajalla sijaitsevan pisteen, koska hänen hyötynsä on positiivisesti yhteydessä muuttujiin t ja y. Voimme siksi ilmaista rajoitteen yhtälönä, joka on epäyhtälöä helpompi ratkaista.

Eräs tapa ratkaista Alexein ongelma on ratkaista rajoitteen yhtälöstä muuttuja y muuttujan t suhteen ja sijoittaa näin saatu lauseke hyötyfunktioon. Näin hyödyn voi ilmaista pelkästään muuttujan t funktiona:

$$U(t,\ y) = U(t,\ f\left( 24 - t \right)),$$

jonka maksimi saadaan etsimällä derivaatan nollakohta. Funktion derivaatta on hyödyn kokonaisderivaatta muuttujan t suhteen. Se saadaan derivoinnin ketjusäännöllä:

$$\frac{dU}{dt} = \frac{\partial U}{\partial t} + \frac{\partial U}{\partial y} \frac{dy}{dt}$$

Yhtälön oikean puolen termi $\dfrac{dy}{dt}$ saadaan derivoimalla tuotantofunktio $y= f(24- t)$ yhdistetyn funktion derivointisääntöjä soveltaen:

$$\frac{dy}{dt} = -f'(24- t),$$

jolloin ketjusäännön nojalla

$$\frac{dU}{dt} = \frac{\partial U}{\partial t} - \frac{\partial U}{\partial y} f'(24 - t).$$

Yhtälö tulkitaan niin, että kun mahdollisuuksien rajalla siirrytään muuttujan t kasvusuuntaan, nettovaikutus hyötyyn jakautuu vapaa-ajan lisäyksen suoraan vaikutukseen – joka on tietysti positiivinen – sekä tenttiarvosanan heikkenemisen epäsuoraan negatiiviseen vaikutukseen.

Alexein maksimointiongelman ratkaisee piste, jolle pätee $\dfrac{dU}{dt}=0$. Tässä pisteessä

$$\frac{\partial U}{\partial t} = \frac{\partial U}{\partial y} f'(24- t).$$

Mainitsimme äsken, että vaikutus hyötyyn jakautuu kahteen osaan. Tästä näkökulmasta ehto on helppo tulkita: optimaalisessa pisteessä pienen vapaa-ajan lisäyksen positiivinen vaikutus ja pienen arvosanan heikennyksen negatiivinen vaikutus kumoavat toisensa.

Järjestelemällä yhtälön termit näemme, että optimaalisessa pisteessä

$$f^{'}\left( 24 - t \right) = \frac{\frac{\partial U}{\partial t}}{\frac{\partial U}{\partial y}}.$$

Yhtälön vasen puoli on mahdollisuuksien rajan kulmakertoimen itseisarvo eli Leibniz-osiossa 3.4.1 johtamamme rajamuunnossuhde. Oikea puoli on samahyötykäyrän kulmakertoimen itseisarvo eli rajasubstituutiosuhde, jota käsittelimme Leibniz-osiossa 3.2.1. Optimaalisessa pisteessä kulmakertoimet ovat siten yhtä suuret, kuten kuviossa 1. Toisin sanoen

$$\text{MRT}=\text{MRS}.$$

Tämä yhtälö on ensimmäisen kertaluvun optimiehto: se saadaan merkitsemällä ensimmäisen kertaluvun derivaatta nollaksi (tässä tapauksessa derivaatta muuttujan t suhteen, $\frac{dU}{dt}$). Käytämme optimiehtoja myöhemmissäkin Leibniz-osioissa, sillä rajoitettu optimointi on taloustieteen peruskysymyksiä.

Haluamme löytää muuttujien t ja y arvot, jotka maksimoivat Alexein hyödyn. Olemme osoittaneet, että näiden arvojen on toteutettava ensimmäisen kertaluvun optimiehto. Optimaalisten arvojen on lisäksi sijaittava mahdollisuuksien rajalla. Näin saamme yhtälöparin:

$$f^{'}\left( 24 - t \right) = \frac{\frac{\partial U}{\partial t}}{\frac{\partial U}{\partial y}}$$ $$y = f(24 - t)$$

Muuttujien t ja y on täytettävä molemmat ehdot. Seuraavaksi johdamme yhtälöparin tietyille hyöty- ja tuotantofunktioille ja ratkaisemme niistä muuttujien optimaaliset arvot.

Lisälukemista: Malcolm Pemberton ja Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4. painos. Manchester: Manchester University Press (maksimoinnista luvuissa 8.1 ja 8.3, kokonais- ja osittaisderivaatasta luvussa 14.2).

Vapaa-ajan optimaalinen allokointi: esimerkki

Sovellamme äsken johtamiamme periaatteita määriteltyihin tuotanto- ja hyötyfunktioihin.

budjettirajoite

Yhtälö kuvaa kaikkia tavara- ja palveluyhdistelmiä, jotka budjettivaroilla voi hankkia ja joiden jälkeen budjetista ei jää mitään yli. Englanniksi budget constraint.

Rajoitettu optimointiongelma muodostuu kahdesta osasta: Alexein maksimoitavaa hyötyä kuvaavasta tavoitefunktiosta ja rajoitteesta, joka on Alexein tenttiarvosanojen tuotantofunktio.

Oletamme, että Alexein hyötyfunktio on Cobbin–Douglasin funktio, jonka esittelimme Leibniz-osiossa 3.2.1:

$$U (t,\ y)= t^a y^b,$$

jossa a ja b ovat positiivisia vakioita. (Merkitsemme niitä a ja b kreikan kirjainten $\alpha$ ja $\beta$ sijasta, koska käytämme kirjainta $\alpha$ tuotantofunktiossa.)

Oletamme, että Alexein opiskeluun käyttämien tuntien h yhteyttä tenttiarvosanaan y kuvaa sama funktio kuin Leibniz-osiossa 3.1.1:

$$y = Ah^{\alpha},$$

jossa A ja $\alpha$ ovat positiivisia vakioita ja $\alpha \lt 1$. Tämänkin tuotantofunktion voi ilmaista vapaa-ajan t funktiona, koska $h = 24 -t$. Jos oletamme lisäksi, että $A=1$, saamme

$$y = {(24 - t)}^{\alpha}.$$

Tämä on mahdollisuuksien rajan yhtälö.

Alexei haluaa valita muuttujien t ja y arvot niin, että $t^a y^b$ maksimoituu, kun häntä koskee rajoite

$$y = \left(24- t \right)^\alpha.$$

Totesimme äsken, että ongelman voi ratkaista kahdella tavalla: sijoittamalla rajoitteen yhtälön hyötyfunktioon tai käyttämällä optimiehtoa. Kokeilemme molempia ja osoitamme, että ne tuottavat saman tuloksen.

Optimiehtoa käyttämällä

Optimiehto tarkoittaa ensimmäisen kertaluvun ehtoa $\text{MRT} = \text{MRS}$. Optimointiongelman ratkaisun on toteutettava tämä ehto. Ratkaisemme rajamuunnossuhteen mahdollisuuksien rajan yhtälöstä ja rajasubstituutiosuhteen hyötyfunktiosta ja merkitsemme ne yhtä suuriksi.

Rajamuunnossuhde on mahdollisuuksien rajan kulmakertoimen itseisarvo (katso Leibniz-osio 3.4.1). Yllä johdetusta mahdollisuuksien rajan yhtälöstä saadaan

$$\text{MRT} = \left|\frac{dy}{dt}\right| = \alpha \left( 24 - t \right)^{\alpha -1} = \frac{\alpha y}{ 24 - t}.$$

Rajasubstituutiosuhde on rajahyötyjen suhdeluku (Leibniz-osio 3.2.1). Rajahyödyt saadaan hyötyfunktion osittaisderivaatoista:

$$\frac{\partial U}{\partial t} = at^{a - 1}y^{b}$$ $$\frac{\partial U}{\partial y} = bt^{a}y^{b - 1}$$

Tällöin rajasubstituutiosuhde on

$$\text{MRS} = \frac{\partial U}{\partial t} \left/ \frac{\partial U}{\partial y} \right. = \frac{a y}{b t}.$$

Merkitsemme tulokset yhtä suuriksi ja kerromme yhtälön molemmat puolet termillä $\frac{t}{y}$:

$$\frac{\alpha t}{24 - t} = \frac{a}{b}$$

Ratkaisemalla tästä yhtälöstä muuttujan t saamme $t = \frac{24}{(1+c)}$, jossa $c=\frac{\alpha b}{a}$. Sijoitamme lausekkeen tuotantofunktioon, jolloin saamme Alexein optimointiongelmaan ratkaisun:

$$t = \frac{24}{1+c}, \; \; y = \left(\frac{24c }{1+c} \right)^\alpha, \, \text{jossa}\ c=\frac{\alpha b}{a}$$

Nämä muuttujien t ja y arvot tuottavat mahdollisuuksien joukossa Alexeille suurimman hyödyn.

Sijoittamalla

Sijoitusmenetelmässä sijoitamme rajoitteen yhtälön tavoitefunktioon, jolloin saamme yhden muuttujan funktion. Sen jälkeen etsimme funktion maksimin. Sijoittamalla rajoitteen $y = \left(24- t \right)^\alpha$ hyötyfunktioon voimme ilmaista hyödyn pelkän muuttujan t funktiona:

$$U = t^a \left(24 - t \right)^{\alpha b}$$

Hyödyn U maksimoimiseksi etsimme derivaatan $dU/dt$ nollakohdan. Tulon derivointisäännön avulla saamme

$$\frac{dU}{dt} = a t^{a-1}(24 - t )^{\alpha b} - \alpha b t^a (24- t )^{\alpha b-1}.$$

Yhtälö jaottelee muuttujan t lisäyksen nettovaikutuksen hyötyyn positiiviseen suoraan vaikutukseen ja huonomman tenttiarvosanan negatiiviseen vaikutukseen, kuten yleistetyssä tapauksessa edellä.

Merkitsemällä derivaatan $dU/dt$ nollaksi ja jakamalla yhtälön lausekkeella $t^{a-1}(24 - t )^{\alpha b}$ saamme $a = \frac{\alpha b t}{24 – t}$. Järjestellään termit:

$$\frac{\alpha t}{24 - t} = \frac{a}{b}$$

Tämä muuttujan t yhtälö on sama, jonka johdimme optimiehdosta $\text{MRT} = \text{MRS}$. Loppu menee samoin kuin edellä.

Lisälukemista: Malcolm Pemberton ja Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4. painos (luvut 8.1–8.3). Manchester: Manchester University Press.