Leibniz 6.6.1 Työntekijän parhaan vasteen funktio

Kuvasimme työntekijän ja työnantajan vuorovaikutusta pelinä, jossa työnantaja valitsee palkan ja työntekijä vastaa valitsemalla työpanoksensa tason. Tässä Leibniz-osiossa tarkastelemme työntekijän vastefunktion matemaattisia ominaisuuksia.

Työntekijä Maria arvostaa kahta asiaa: tuloja ja sitä, että työstä selviää suhteellisen vähillä ponnistuksilla. Työ on kuitenkin hänelle arvokkaampaa kuin toiseksi paras vaihtoehto eli työttömyys: hän saa työsuhteesta ylituottoa.

Maria voi työsuhteessaan päättää työpanoksensa tason. Mittaamme työpanosta sillä, miten suuren osuuden jokaisesta työtunnista hän käyttää työntekoon, ja merkitsemme osuutta $e$. Jos Marian työpanos jää liian pieneksi, hän voi joutua irtisanotuksi ja menettää työsuhteen ylituoton.

Työsuhteen ylituotto riippuu ennen muuta työnantajan asettamasta palkasta. Maria valitsee jokaista palkkatasoa $w$ vastaavan työpanoksen tason $e$, joka on hänen paras vasteensa. Marian parhaan vasteen käyrä on funktio, joka kertoo työpanoksen tason jokaiselle palkan arvolle:

$$e = E(w)$$

Eräs tapa mallintaa Marian päätöksentekoa kokonaisuutena on lähteä liikkeelle Marian hyötyfunktiosta ja ratkaista hyödyn maksimoinnin ongelma, jolloin saisimme selville parhaan vasteen kuhunkin palkkaan. Luvussa 6 keskityimme kuitenkin Marian ja työnantajan vuorovaikutukseen. Niinpä sivuutamme hyötyfunktion ja tarkistamme Marian päätöksentekoa analysoimalla, vastaako parhaan vasteen funktion odotettu muoto piirtämäämme kuvaajaa.

Parhaan vasteen funktion muoto

Luvussa 6 piirsimme parhaan vasteen funktion, jonka muoto näkyy kuviosta 1. Vaaka-akselilla on työnantajan asettama palkka, pystyakselilla sitä vastaava Marian työpanoksen taso.

Miksi odotamme funktion näyttävän tältä? Ensinnäkin työsuhteen ylituotto on nolla, jos Marian palkka on yhtä suuri kuin reservaatiopalkka, jolloin Maria ei panosta työntekoon lainkaan. Siksi funktion kuvaaja leikkaa vaaka-akselin reservaatiopalkan kohdalla. Toiseksi Maria panostaa työhönsä enemmän, jos palkka kasvaa. Palkankorotus lisää työsuhteen ylituottoa, minkä seurauksena hän kasvattaa työpanostaan saadakseen pitää työpaikkansa (ja ylituottonsa). Parhaan vasteen käyrä on siis nouseva. Toisin sanoen $E(w)$ on muuttujan $w$ kasvava funktio:

$$E'(w)\gt0$$

Kuviosta 1 käy ilmi vielä kolmas funktion $E(w)$ ominaisuus: sen kulmakerroin pienenee, kun $w$ kasvaa. Tämä ominaisuus kertoo siitä, että työpanoksen rajakustannus (siitä koituva haitta) kasvaa työpanoksen mukana, kuten odottaa voi. Mitä parempaa palkkaa Maria saa, sitä enemmän hän työhönsä panostaa. Hänen on kuitenkin jatkuvasti vaikeampaa kasvattaa työpanostaan, jos palkka vielä hieman nousee. Funktio $E(w)$ on siksi konkaavi:

$$E''(w)\lt0$$

Muita funktioon vaikuttavia tekijöitä

Ahkeruuteen kannustava työsuhteen ylituotto riippuu palkan lisäksi myös muista tekijöistä. Ylituoton muodostumista käsiteltiin alaluvussa 6.5. Ylituotto tuntia kohti on palkan ja Marian reservaatiotulojen erotus vähennettynä työnteon haitalla. Reservaatiotuloja voi saada esimerkiksi työttömyyskorvauksesta tai sukulaisten avustuksista. Ylituoton kokonaismäärä on ylituotto tuntia kohti kerrottuna työttömyyden odotetulla kestolla.

Marian valitsema työpanoksen taso riippuu myös siitä, miten tarkasti työnantaja valvoo työntekoa. Jos työnantaja voi milloin tahansa yllättää hänet selailemasta Facebookia, se vahvistaa hänen kannustintaan ahkerointiin.

Myös nämä tekijät vaikuttavat työpanokseen ja siten parhaan vasteen käyrän sijaintiin $we$-tasossa. Ne ovat parhaan vasteen funktion $E$ parametreja. Parametrien muutokset siirtävät parhaan vasteen käyrää. Esimerkiksi työttömyyden odotetun keston piteneminen kasvattaa työpanoksen tasoa kaikilla palkan arvoilla, jolloin käyrä siirtyy ylöspäin. Työttömyyskorvauksen korotus siirtäisi käyrää alaspäin.

Muiden tekijöiden kuin palkan vaikutusta voi kuvata lisäämällä funktioon muuttujia. Marian parhaan vasteen funktion voi ilmaista yhden sijasta viiden muuttujan funktiona:

$$e = E(w,\ a,\ p,\ b,\ d),$$

jossa

• $e$ on työpanos ja $w$ palkka, kuten edellä
• $a$ on työnteon haitta eli eräs Marian hyötyfunktion ominaisuuksista
• $p$ on kiinni jäämisen todennäköisyys, jos hän käyttää työaikaansa muuhun kuin työhön
• $b$ on työttömyyskorvaus
• $d$ on työttömyyden kesto.

Tietyillä lisämuuttujien $a$, $p$, $b$ ja $d$ arvoilla muuttujien $e$ ja $w$ yhteyden kuvaaja on muodoltaan kuvion 1 mukainen: $E$ on muuttujan $w$ kasvava ja konkaavi funktio. Ainoa ero yhden muuttujan funktioon on se, että nämä ominaisuudet ilmaistaan osittaisderivaatoilla:

$$\frac{\partial E}{\partial w} \gt0, \, \frac{\partial^2 E}{\partial w^2} \lt0$$

Myös muiden muuttujien vaikutus ilmaistaan osittaisderivaatoilla. Toteamamme perusteella

$$\frac{\partial E}{\partial a} \lt 0, \, \frac{\partial E}{\partial p} \gt 0, \, \frac{\partial E}{\partial b} \lt 0, \, \frac{\partial E}{\partial d} \gt 0.$$

Sanoin ilmaistuna Marian työpanos on työnteon haitan ja työttömyyskorvauksen vähenevä funktio sekä kiinnijäämisen todennäköisyyden ja työttömyyden keston kasvava funktio.

Lisälukemista: Malcolm Pemberton ja Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4. painos (luku 14.1). Manchester: Manchester University Press.