Leibniz 22.2.2 Miten monopolitoimija asettaa ylituoton maksimoivat verot

Veronasetantamallissamme diktaattori on poliittinen monopolitoimija ja haluaa maksimoida poliittiset ylituottonsa. Veroja asettaessaan hänellä on kuitenkin rajoitteena valtakausisuora: mitä enemmän kunakin vuonna kannetaan veroja, sitä lyhyemmän ajan hän voi odottaa pysyvänsä vallassa. Tässä osiossa ratkaisemme diktaattorin rajoitetun optimointiongelman matemaattisesti ja selvitämme optimaalisen verotason.

Leibniz-osiossa 22.2.1 johdimme valtakausisuoran diktaattorille, joka voi menettää valta-asemansa tuloksista johtuvista syistä (liiasta verottamisesta) tai tuloksista riippumattomista syistä. Hänen odotettu valtakautensa $D$ laskee sitä mukaa kuin kunkin vuoden verot $T$ kasvavat, joten kesto on verojen vähenevä funktio: $D=f(T)$.

Diktaattorin ylituotto $R$ riippuu sekä valtakaudesta $D$ että veroista $T$. Julkisten palvelujen tuottamisen kustannus on $C$, joten vuotuinen poliittinen ylituotto on $T - C$. Kun odotettu valtakausi on $D$, odotettu kokonaistuotto on

$$R(D,\ T)=(T-C)D.$$

Diktaattorin rajoitettu optimointiongelma on:

$$\text{maksimoi }(T-C)D \text{ huomioimalla ehto }D=f(T)$$

Ratkaisemme ongelman korvaamalla ensin valtakauden $D$ rajoitteella, joten ylituotto on $(T-C)f(T)$. Sitten derivoimme verojen $T$ suhteen ja saamme ensimmäisen kertaluvun ehdon:

$$f(T)+f'(T)(T-C)=0$$

Ensimmäinen termi on veron yhden yksikön noston rajahyöty. Diktaattori saa ylimääräisen ylituottoyksikön valtakautensa $f(T)$ ajalta. Toinen termi on negatiivinen, koska $f(T)$ on vähenevä funktio. Se edustaa diktaattorille ylituoton nostamisen rajakustannusta eli sitä, että hän saa ylituottoa $T-C$ lyhyemmältä ajalta.

Diktaattorin optimaalinen verotaso $T^*$ toteuttaa tämän yhtälön. Kun $T^*$ on tiedossa, voimme määrittää vastaavan keston yhtälöstä $D^*=f(T^*)$. Havainnollistamme tätä esimerkillä.

Tekstin kuvio 22.6, joka on kopioitu tähän kuvioksi 1, valaisee diktaattorin optimointiongelman ratkaisua.

Ratkaisu $(D^*,\ T^*)$ on kuvion pisteessä B, jossa valtakausisuora sivuaa samatuottokäyrää. Osoittaaksemme, että tämä piste on se, johon päädyimme yllä matemaattisesti, voimme järjestellä ensimmäisen kertaluvun ehdon uudelleen:

$$-\frac{1}{f'(T)}=\frac{T-C}{D}$$

Tässä muodossa ensimmäisen kertaluvun ehto kertoo saman asian kuin kaavio: pisteessä B kestokäyrän kulmakerroin on sama kuin samatuottokäyrän kulmakerroin. Voimme laskea kulmakertoimet:

• Olemme kirjoittaneet valtakausisuoran muotoon $D^*=f(T^*)$, josta seuraa, että $dD/dT=f'(T)$. Kuvioon olemme kuitenkin piirtäneet suoran niin, että $T$ on pystyakselilla, joten kulmakerroin on $dT/dD= 1/f'(T)$. Koska $f'(T)$ on kaikilla ajan $T$ arvoilla negatiivinen, yllä olevan yhtälön vasen puoli on valtakausisuoran kulmakertoimen itseisarvo. Voimme tulkita sen verotuksen ja keston rajamuunnossuhteeksi (MRT).
• Samatuottokäyrän yhtälö on $R(D,\ T)=k$, jossa $k$ on vakio. Laskemme kulmakertoimen käyttämällä samaa menetelmää kuin käytimme Leibniz-osiossa 3.2.1 samahyötykäyrille. Tässä tapauksessa on kuitenkin helpompaa kirjoittaa samatuottokäyrä muotoon $T=C+k/D$ ja sitten derivoida, jolloin saadaan $dT/dD=-k/D^2=-(T-C)/D$. Siten yllä olevan yhtälön oikea puoli on samatuottokäyrän kulmakertoimen itseisarvo, joka voidaan tulkita diktaattorin verotulojen ja valtakauden rajasubstituutiosuhteeksi (MRS).

Esimerkki

Emme täsmentäneet edellä kestokäyrän muotoa. Olettakaamme, että se on kuvion 1 tapaan lineaarinen. Yhtälön voi silloin kirjoittaa muodossa $D=f(T)$, jossa

$$f(T)=D^\text{max}-\frac{1}{s}(T-C)$$

ja $s$ on positiivinen vakio. Derivoimalla muuttujan $f$ voit varmentaa, että $s=-1/f'(T)$, joten $s$ edustaa kuvion 1 suoran (eli rajamuunnossuhteen MRT) kulmakertoimen itseisarvoa. Tällä valtakausisuoralla ensimmäisen kertaluvun ehdosta $f(T)+f'(T)(T-C)=0$ tulee:

$$D^\text{max}-\frac{1}{s}(T-C) -\frac{1}{s}(T-C)=0$$

Kun se ratkaistaan, saadaan:

$$T^*=C+\frac{s}{2} D^\text{max}$$

Koska $D^*=f(T^*)$:

$$D^*= \frac{1}{2} D^\text{max}$$

Huomaa, että diktaattorin valitsema verotaso nousee, kun valtakausisuora jyrkkenee (eli kun $s$ kasvaa). Tilanne on sama kuin voittoa maksimoivalla yrityksellä, joka asettaa hinnan korkeammaksi, kun kysyntäkäyrä on joustamaton (jyrkkä). Tässä tapauksessa kuitenkin vastaava odotettu valtakausi on sama riippumatta siitä, mikä valtakausisuoran kulmakerroin $s$ on. Palaamme tähän Leibniz-osiossa 22.3.1.