Leibniz 2.7.1 La fonction de production

Dans notre modèle d’une économie agricole, la fonction de production montre comment la production de céréales dépend du facteur travail, c’est-à-dire du nombre de fermiers qui travaillent la terre. Ici, nous montrons comment la fonction de production peut être représentée mathématiquement et nous décrivons ses propriétés.

La fonction de production de céréales est représentée graphiquement dans la Figure 1 :

Si nous nommons $x$ la quantité de travail (nombre de fermiers) et $y$ la quantité de céréales produite (en kilogrammes), nous pouvons écrire la fonction de production de la manière suivante :

$$y=f(x)$$

$f(.)$ peut être n’importe quelle fonction. Cependant, si nous voulons qu’elle représente une fonction de production semblable à celle du graphique, elle doit avoir certaines propriétés. Tout d’abord, nous pouvons observer que lorsque le facteur de production est à zéro, il n’y a pas de production de céréales. Si le facteur de production est supérieur à zéro, la production de céréales est strictement positive :

$$f(0)=0, \quad f(x)>0 \text{ if } x>0$$

En outre, la fonction est croissante : c’est-à-dire, que quand $x$ augmente, $y$ augmente aussi. Cela implique que sa pente, donnée par la dérivée de la fonction, est positive. Nous pouvons écrire :

$$\frac{dy}{dx}>0$$

ou, de manière équivalente :

$$f'(x)>0$$

Ces deux propriétés sont communes à la plupart des fonctions de production. Une autre propriété de la fonction de production dans le graphique ci-dessus est qu’elle devient progressivement moins pentue à mesure que $x$ augmente. Autrement dit, sa pente $\frac{dy}{dx}$ diminue quand $x$ augmente, ce qui signifie que sa dérivée de second ordre est négative :

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{d^2y}{dx^2}<0$$

ou, de manière équivalente :

$$f''(x)<0$$

Pour en savoir plus : Section 7.3 (en particulier la page 127) et Section 8.2 de Malcolm Pemberton and Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4th ed. Manchester: Manchester University Press.