Leibniz 3.1.1 Productivité moyenne et productivité marginale
La fonction de production d’Alexei, représentée graphiquement dans la Figure 1, décrit la manière dont le nombre d’heures passées à étudier quotidiennement contribue à sa note finale. Nous avons vu que sa productivité marginale en chaque point correspond à la pente de la fonction, et que sa productivité moyenne est la pente de la droite qui relie ce point à l’origine. Nous allons maintenant décrire mathématiquement les productivités marginale et moyenne.
Figure 1 Comment le temps passé à étudier affecte-t-il la note d’Alexei ?
Une représentation mathématique générale de cette relation est :
où est la note finale (sa production) et le nombre d’heures passées à étudier chaque jour (le facteur de production). est la fonction de production.
- productivité moyenne
- Quantité totale produite divisée par un facteur de production particulier, par exemple par travailleur (divisée par le nombre de travailleurs) ou par travailleur et par heure (production totale divisée par le nombre total d’heures de travail).
Quand Alexei étudie pendant heures par jour, sa productivité moyenne du travail (PMT) est calculée en divisant la note finale par le nombre d’heures passées à étudier :
Cela correspond au nombre moyen de points par heure passée à étudier quotidiennement. Dans le diagramme, c’est la pente du segment passant par l’origine.
- productivité marginale
- La quantité additionnelle produite en utilisant une unité additionnelle d’un facteur en particulier, en gardant les autres facteurs constants.
Nous avons défini la productivité marginale du travail (PmT) d’Alexei comme la hausse de sa note lorsqu’il augmente son temps passé à étudier d’une heure. Plus précisément, c’est le taux auquel sa note augmente quand le temps d’étude augmente, ce qui correspond à la pente de la fonction de production.
Pour voir cela, supposez qu’il étudie pendant heures chaque jour. Pour trouver sa productivité marginale, nous considérons la variation de sa note s’il augmente son temps d’étude de heures. Si la note augmente de points, alors la variation de la note par variation unitaire du temps d’étude est :
Quand tend vers zéro, cette fraction tend vers la dérivée de la fonction. Nous écrivons :
ce qui correspond à la pente de la fonction de production. En d’autres mots, la productivité marginale d’Alexei quand il étudie pendant heures est donnée par la dérivée de la fonction de production :
C’est la définition mathématique d’une productivité marginale. Nous utiliserons des définitions mathématiques de quantités marginales dans de prochains suppléments Leibniz. Dans le texte nous avons calculé la productivité marginale en trouvant la hausse de production quand la quantité de facteur de production augmente d’une unité. Cela nous donne une bonne approximation de la productivité marginale définie mathématiquement si les unités individuelles sont de petites quantités. Par exemple, dans la Figure 1, les unités sont des heures, et il y a 24 heures sur l’axe des abscisses. La hausse de la production quand le facteur de production augmente d’une heure est une approximation grossière de la pente. Cependant, si l’axe des abscisses était mesuré en minutes à la place, et que nous calculions la hausse de la production lorsque le facteur de production augmente d’une minute, nous obtiendrions une approximation très précise de la pente de cette fonction.
Un exemple
Une fonction de production avec des propriétés similaires à celle de la Figure 1 est :
où et sont des constantes telles que et . Elles déterminent l’emplacement précis et la courbure de la fonction de production. Nous expliquerons ci-dessous pourquoi doit prendre une valeur entre 0 et 1. Remarquez que cette fonction exhibe les propriétés classiques d’une fonction de production : quand et quand est positif, la production est positive aussi.
La restriction garantit que la fonction de production soit croissante pour tout (c’est peut-être évident pour vous grâce à vos connaissances sur les exposants (puissances), mais nous le vérifierons ci-dessous en montrant que la productivité marginale est positive). Cela signifie que la fonction n’est pas une représentation exacte de celle représentée dans la Figure 1, qui est constante (plate) pour .
Le productivité moyenne du travail est alors :
La productivité marginale du travail est la dérivée de la fonction de production :
Remarquez que nous pouvons réécrire la PmT comme suit :
Nous savons que lorsque est positif, est positif aussi. De cette équation nous pouvons donc facilement déduire que implique que la productivité marginale du travail est positive. En d’autres mots, la note d’Alexei augmente avec le nombre d’heures passées à étudier.
Qu’en est-il de la restriction ? Puisque la productivité moyenne du travail est et la productivité marginale du travail est , est le ratio productivité marginale sur productivité moyenne. Notre hypothèse que signifie donc que la productivité marginale du travail est inférieure à la productivité moyenne du travail. Vous pouvez observer cela dans la Figure 1 si vous comparez la PmT (la pente de la courbe) et la PMT (la pente du segment passant par l’origine) au point auquel .
Cette propriété de la fonction de production implique que peu importe le nombre d’heures qu’Alexei choisit d’étudier, le nombre de points supplémentaires qu’il peut obtenir en étudiant une heure additionnelle sera inférieur au nombre moyen de points par heure qu’il a obtenus jusqu’à présent.
Pour en savoir plus : Sections 6.1 et 6.4 de Malcolm Pemberton and Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4th ed. Manchester: Manchester University Press.
