Leibniz 5.7.1 Le choix d’heures de travail d’Angela quand elle paye un loyer

Dans le Leibniz 5.4.2 nous avons résolu le problème d’optimisation sous contrainte d’Angela pour les décisions qu’elle prenait en tant que fermière indépendante. Maintenant nous nous intéressons au cas où Bruno est propriétaire de la terre et Angela doit payer un loyer pour produire des céréales. Nous verrons que les préférences quasi-linéaires d’Angela ont une conséquence importante sur l’effet du loyer sur sa décision.

Comme avant, les préférences d’Angela sont représentées par une fonction d’utilité quasi-linéaire :

$$U(t,\ c) = v(t) + c$$

où $t$ représente son nombre d’heures quotidiennes de temps libre et $c$ le nombre de boisseaux de céréales qu’elle consomme par jour. La fonction $v$ est croissante et concave. Sa frontière des possibles montre comment le nombre de boisseaux de céréales qu’elle peut consommer par jour, $y$, dépend du temps libre qu’elle décide d’avoir.

Quand Angela était une fermière indépendante, elle pouvait consommer toutes les céréales qu’elle produisait. Sa frontière des possibles était $c=g(t)$, où $g'(t)\lt0$ et $g''(t)\lt0$, et son problème d’optimisation sous contrainte consistait à choisir $t$ et $c$ pour maximiser $v(t) + c$, sous la contrainte $c =g(t)$, nous donnant la condition de premier ordre :

$$v'(t) + g'(t)=0$$

Son choix optimal de temps libre, $t^*$, est la valeur de $t$ qui satisfait cette équation. Souvenez-vous que son TMS est $v'(t)$ et son TMT, $-g'(t)$ ; le choix optimal est le point auquel TMS = TMT.

Comment le problème change-t-il quand Angela doit payer un loyer ?

Supposez qu’elle doive payer $c_0$ boisseaux de céréales par jour à son propriétaire Bruno pour le droit de mener son activité de fermière. Cela signifie que la consommation de céréales d’Angela est inférieure à sa production. Si elle prend $t$ heures de temps libre, elle produit $g(t)$ boisseaux de céréales comme précédemment, mais maintenant sa consommation sera :

$$c= g(t) -c_0$$

Dans ce cas, son problème d’optimisation sous contrainte consiste à choisir $t$ et $c$ pour maximiser $v(t) + c$, sous la contrainte $c =g(t)-c_0.$

Cependant la condition de premier ordre pour son choix optimal de temps libre est exactement la même qu’avant :

$$v'(t) + g'(t)=0$$

donc elle choisira exactement la même quantité de temps libre $t^*$ que dans le cas où elle ne devait pas payer de loyer. Évidemment, cela signifie qu’elle produira la même quantité de céréales qu’avant, bien que sa consommation diminue de la quantité de loyer qu’elle doit payer.

Pourquoi cela arrive-t-il ? Quand Angela doit payer un loyer, elle prend $t$ heures de temps libre et paye $c_0$ à Bruno, donc sa consommation diminue. Cependant, le taux auquel elle peut transformer le temps libre en consommation pour elle-même ne change pas. Une heure de travail supplémentaire lui donne autant de céréales supplémentaires que quand elle ne devait pas payer de loyer, donc son TMT est toujours $g'(t)$. Et la diminution de la consommation n’affecte pas non plus son taux marginal de substitution en raison de ses préférences quasi-linéaires : son TMS est $v'(t)$ indépendamment de sa consommation de céréales.

L’effet du paiement du loyer est montré dans la Figure 1. La frontière des possibles initiale d’Angela quand elle est une fermière indépendante, $c=g(t)$, est représentée par la courbe rouge supérieure. Son choix optimal de temps libre et de consommation dans ce cas correspond à P. Quand elle paie un loyer de $c_0$, sa frontière des possibles en termes de consommation et de temps libre se déplace verticalement de $c_0$ unités vers le bas. C’est la courbe rouge inférieure du graphique : $c=g(t)-c_0$.

Le nouveau point optimal d’Angela est Q : elle continue à avoir $t^*$ heures de temps libre par jour, et sa consommation quotidienne de céréales est maintenant de $c^* - c_0$ boisseaux. Vous pouvez voir l’effet de la quasi-linéarité sur le graphique : les courbes d’indifférence quasi-linéaires ont la même pente lorsque l’on se déplace vers le haut ou le bas le long d’une droite verticale.

Nous avons montré qu’Angela choisira la même quantité de temps libre quel que soit le montant du loyer $c_0$. Elle fera le même choix si le loyer est nul (le cas de la fermière indépendante) et elle ferait encore le même choix si $c_0$ était négatif : par exemple, si elle n’avait pas de propriétaire et recevait un subside de la part de l’État pour travailler à sa ferme.

Le fait que le paiement du loyer ne change pas l’allocation de temps d’Angela signifie que tout conflit de répartition entre elle et Bruno n’aura pour objet que la quantité de céréales que chacun d’eux peut consommer. Puisque ses préférences sont quasi-linéaires, le nombre d’heures de travail d’Angela est déterminé indépendamment de la manière dont les céréales sont réparties, donc la taille du gâteau et comment il est partagé sont deux problèmes complètement distincts. L’hypothèse de quasi-linéarité est faite dans l’Unité 5 pour nous permettre de penser à ces deux problèmes séparément.

Pour en savoir plus : Sections 17.1 à 17.3 de Malcolm Pemberton and Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4th ed. Manchester: Manchester University Press.