Leibniz 7.3.1 Fonctions de coût moyen et de coût marginal
Les coûts totaux de production d’une entreprise manufacturière comme Beautiful Cars comprennent le loyer de l’usine, la location de l’équipement et des machines, le prix des matériaux bruts (y compris les services) et les salaires de tous les employés. La fonction de coût, , décrit la manière dont les coûts totaux de l’entreprise varient avec sa production, c’est-à-dire avec le nombre de voitures, , qu’elle produit. Dans ce supplément Leibniz, nous montrons de quelle manière les fonctions de coût moyen et de coût marginal sont liées à .
En général, les coûts totaux augmentent avec la quantité d’unités produites. Nous traitons ici comme une variable continue, une approximation habituelle et utile lorsque l’on traite de grands nombres. Il est alors opportun de supposer que la fonction soit dérivable et de décrire le fait qu’elle soit croissante par l’inégalité :
Le graphique de la fonction est représenté dans la partie supérieure de la Figure 7.7 du texte, reproduite ici comme la Figure 1. Notez que ; même si aucune voiture n’est produite, l’entreprise a quelques coûts, , appelés coûts fixes. Dans le graphique, est une fonction croissante et elle est également convexe : la pente de la courbe augmente quand augmente. Nous en dirons plus ci-dessous.
Figure 1 Les fonctions de coût total, coût moyen et coût marginal de Beautiful Cars.
Le coût moyen (CM) de production des Beautiful Cars correspond au coût total divisé par le nombre de voitures produites. Par conséquent, si voitures sont produites,
Dans la partie supérieure de la Figure 1, le coût moyen de produire voitures correspond à la pente de la droite reliant le point à l’origine. Vous pouvez voir sur le graphique que la pente varie avec : le coût moyen CM est lui-même une fonction de . Le graphique de la fonction est représenté dans la partie inférieure de la Figure 1.
Le coût marginal (Cm) correspond au taux auquel le coût augmente lorsque augmente. Par conséquent, si voitures sont produites :
Vous pouvez interpréter Cm, comme dans le texte, comme le coût de produire une voiture supplémentaire : cependant, souvenez-vous qu’il ne s’agit que d’une approximation. Graphiquement, Cm correspond à la pente de la courbe tracée dans la partie supérieure de la Figure 1. Comme nous l’avons mentionné précédemment, cette fonction de coût est telle que sa pente augmente lorsque augmente : nous supposons que pour Beautiful Cars, le coût de produire une voiture supplémentaire est une fonction croissante du nombre de voitures déjà produites. Cela implique que le coût marginal est une fonction croissante de . La fonction de coût marginal est représentée par une droite croissante dans la partie inférieure de la Figure 1.
Pensez maintenant à la forme de la fonction de coût moyen. En vous rappelant que le coût moyen correspond à la pente de la droite reliant à l’origine, vous pouvez remarquer dans la partie supérieure de la Figure 1, que le coût moyen est élevé quand est faible ; il diminue ensuite progressivement jusqu’au point B auquel , avant de recommencer à augmenter. Cela se voit dans la partie inférieure de la Figure 1, par la forme en U de la courbe de CM, qui atteint son minimum à . Le graphique montre aussi que si , si et si . Une autre manière de l’exprimer est de dire que est toujours du même signe que la pente de la courbe de CM. Nous démontrons maintenant que c’est toujours vrai, quelle que soit la forme de la fonction de coût.
Par la règle de dérivation d’une fraction,
On sait que et . Par conséquent :
Puisque , il s’en suit que la pente de la courbe de CM pour chaque valeur de est de même signe que , et c’est ce que nous voulions démontrer.
Pour en savoir plus : Sections 6.4 et 8.1 de Malcolm Pemberton and Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4th ed. Manchester: Manchester University Press.
