Leibniz 7.4.1 Les courbes d’isoprofit et leurs pentes

Le profit d’une entreprise correspond à la différence entre ses recettes (le prix multiplié par la quantité vendue) et ses coûts totaux. Si l’on connaît la fonction de coût $C(Q)$ de l’entreprise, l’on peut déterminer ses courbes d’isoprofit, c’est-à-dire les combinaisons de $P$ et $Q$ qui donnent le même profit. Dans ce Leibniz, nous obtenons l’équation d’une courbe d’isoprofit, nous expliquons sa forme et nous trouvons sa pente.

Le profit économique correspond aux recettes moins les coûts. Pour une entreprise manufacturière comme Beautiful Cars, le profit dépend de la quantité de biens ($Q$) et du prix ($P$) auquel chaque unité produite peut être vendue. Nous désignons le profit par $\Pi$, comme précédemment. Si la fonction de coût de l’entreprise est $C(Q)$, alors son profit peut être exprimé comme une fonction de $P$ et $Q$ :

$$\Pi = PQ - C(Q)$$

Les courbes d’isoprofit sont une famille de courbes dans le plan $QP$, dont chacune correspond à un niveau donné de profit. L’équation d’une courbe d’isoprofit typique est :

$$PQ - C(Q) = k$$

où $k$ est une constante représentant le niveau de profit. Il y a une courbe différente par valeur de $k$. Nous allons représenter les courbes d’isoprofit dans un graphique avec $P$ en ordonnée, il est donc utile de réécrire cette équation sous une forme qui exprime $P$ comme une fonction de $Q$ :

$$P = \frac{C(Q) + k}{Q}$$

Cette équation implique que pour une valeur donnée de $Q$, si $k$ augmente, $P$ augmente aussi. Cela signifie que dans un graphique représentant la famille des courbes d’isoprofit, les courbes les plus hautes correspondent aux niveaux supérieurs de profit. Vous pouvez observer cela sur les graphiques pour les Cheerios pomme-cannelle (Figure 7.4) et les Beautiful Cars (Figure 7.10) dans le texte, reproduits ici en tant que Figures 1 et 2.

Nous expliquons maintenant pourquoi les courbes d’isoprofit de ces deux entreprises ont les formes que l’on observe dans les graphiques. L’équation de la courbe d’isoprofit correspondant au niveau de profit $k$ peut être écrite :

$$P = \frac{C(Q)}{Q} + \frac{k}{Q}$$

ou de manière équivalente :

$$P = \text{CM} + \frac{k}{Q}$$

Concentrez-vous d’abord sur le cas où $k = 0$ : la courbe de profit économique nul. En fixant $k = 0$ dans l’équation ci-dessus, on remarque que la courbe de profit économique nul correspond à la courbe de coût moyen (CM). En tout point du graphique inférieur à cette courbe, l’entreprise subirait des pertes. Pour les Cheerios pomme-cannelle le coût moyen est constant : chaque livre coûte 2 dollars à produire, que la quantité totale soit grande ou petite. La courbe de profit économique nul est donc la droite horizontale $P = 2$. Beautiful Cars a une courbe de coût moyen en forme de U et donc une courbe de profit économique nul en forme de U.

Considérez maintenant les courbes correspondant à des niveaux de profit positifs, $k\gt0.$ L’équation de la courbe d’isoprofit exprime alors $P$ comme la somme du CM et de $k/Q.$ Remarquez que $k/Q$ est élevé quand $Q$ est petit, et

$$\frac{d}{dQ} \left( \frac{k}{Q} \right) = - \frac{k}{Q^2} \lt0, \quad \frac{d^2}{dQ^2} \left( \frac{k}{Q} \right) = \frac{2k}{Q^3} \gt0$$

Donc $k/Q$ est une fonction décroissante et convexe de $Q$.

La forme des courbes d’isoprofit dépend des formes de $k/Q$ et de la courbe CM. Dans le cas des Cheerios pomme-cannelle, c’est particulièrement simple. CM est une droite horizontale et l’équation des courbes d’isoprofit est $P = 2+k/Q$. Ainsi, les courbes d’isoprofit sont décroissantes et convexes, à l’image de $k/Q$, comme nous le voyons dans la Figure 1.

Pour Beautiful Cars la courbe CM est en forme de U et donc convexe, avec un minimum à $Q = 40$ (point B). La courbe d’isoprofit correspondant à un niveau de profit $k\gt0$ doit donc être convexe aussi, puisque la somme de deux fonctions convexes est toujours convexe (la dérivée seconde de $f(x) + g(x)$ est $f''(x) + g''(x)$, qui est positive si $f''(x)$ et $g''(x)$ sont positives).

Si $0\lt Q\lt40$, $C(Q)/Q$ et $k/Q$ sont toutes deux des fonctions décroissantes de $Q$, donc les courbes d’isoprofit sont décroissantes. Si $Q$ est grand, la dérivée de $k/Q$ est proche de zéro, donc la pente de la courbe d’isoprofit est presque identique à la pente de $C(Q)/Q$ — les courbes d’isoprofit sont décroissantes (comme la courbe CM). Par conséquent, la courbe d’isoprofit pour $k\gt0$, comme la courbe CM, est en forme de U, avec un minimum atteint pour une valeur positive de $Q$.

Désignons par $Q^*$ la valeur de $Q$ à laquelle le minimum est atteint. Remarquez que $Q^*$ dépend de $k$. Nous savons que toutes les courbes d’isoprofit sont décroissantes jusqu’à $Q = 40$, donc $Q^* \gt 40$ : le minimum d’une courbe d’isoprofit avec $k\gt0$ est atteint à droite du minimum de la courbe de profit nul. Un argument similaire montre que lorsque $k$ augmente, $Q^*$ augmente aussi : les courbes d’isoprofit correspondant à des niveaux plus élevés de profit atteignent leur minimum plus loin vers la droite (Figure 2).

Nous avons maintenant expliqué pourquoi les courbes d’isoprofit pour Beautiful Cars sont en forme de U. L’autre propriété que vous pouvez observer dans la Figure 2 est que la courbe de coût marginal croise les courbes d’isoprofit à leurs minimums. Dans le Leibniz 7.3.1 nous avons démontré que c’était vrai pour la courbe CM (la courbe de profit nul) en montrant que $\text{Cm} - \text{CM}$ était toujours de même signe que la pente de la courbe de CM. Nous utilisons maintenant la même approche pour les pentes des autres courbes d’isoprofit.

Considérez la courbe d’isoprofit correspondant à un profit de $k\gt0$. Le long de cette courbe,

$$\frac{dP}{dQ} = \frac{d} {dQ} \left( \frac{C(Q)}{Q} \right) - \frac{k}{Q^2}$$

$dP/dQ$ correspond donc à la différence entre deux termes, le premier étant la pente de la courbe de CM. Nous avons montré dans le Leibniz 7.3.1 (en utilisant la règle de dérivation d’une fraction) qu’elle correspondait à $(\text{Cm} - \text{CM)}/Q$. De plus, nous savons de l’équation des courbes d’isoprofit que $k/Q = P - \text{CM}$. Par conséquent

$$\frac{dP}{dQ} = \frac{\text{Cm} - \text{CM}}{Q} - \frac{P - \text{CM}}{Q}$$

En simplifiant l’expression à droite, on voit que :

$$\frac{dP}{dQ} = \frac{\text{Cm} - P}{Q}$$

Cette équation nous donne la pente en chaque point de la courbe d’isoprofit $P = \text{CM}+ k/Q$. Quand $Q$ est faible, $P$ est élevé — au-dessus du coût marginal Cm — et les courbes sont décroissantes. Ainsi quand $Q$ augmente, $P$ diminue ; cela continue tant que $P\lt \text{Cm}$. Dans le cas de Beautiful Cars, nous atteignons finalement un point où $P = Cm$ et à ce point, l’équation nous dit que la pente est nulle : nous avons atteint le minimum de la courbe d’isoprofit. La pente de la courbe de Cm est positive à ce point. Au-delà de ce point, $Cm \gt P$ et les courbes d’isoprofit sont croissantes aussi.

Qu’en est-il du cas des Cheerios pomme-cannelle ? Puisque le coût unitaire d’une livre de céréales Cheerios est de 2 $ quel que soit le niveau de production, le coût marginal et le coût moyen sont tous deux de 2 $. La courbe de profit nul correspond non seulement à la courbe de CM, mais aussi à la courbe de Cm. L’équation de toute courbe d’isoprofit peut être écrite comme $P = \text{Cm}+ k/Q$. Par conséquent, si $k \gt 0$, alors $P \gt \text{Cm}$, ce qui implique que la pente est toujours négative. Comme vous pouvez le voir dans la Figure 1, toutes les courbes de profit positif sont décroissantes, mais ne croisent jamais la courbe Cm.

Pour en savoir plus : Chapitre 8 de Malcolm Pemberton and Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4th ed. Manchester: Manchester University Press.