Leibniz 7.8.1 Élasticité de la demande

L’élasticité-prix de la demande mesure la sensibilité de la quantité demandée au prix : elle nous donne la variation en pourcentage de la quantité demandée lorsque le prix varie de 1 %. Dans ce Leibniz nous définissons l’élasticité de manière algébrique et nous montrons comment la décision de fixation de prix d’une entreprise dépend de l’élasticité de la demande à laquelle elle fait face.

Il y a deux manières d’écrire une fonction de demande. Précédemment nous avons décrit la demande de Beautiful Cars en utilisant la fonction de demande inverse :

$$P = f(Q)$$

où $f(Q)$ est le prix auquel l’entreprise peut vendre exactement $Q$ voitures. Pour définir l’élasticité, il est plus commode d’écrire la fonction de demande sous sa forme directe :

$$Q = g(P)$$

$g(P)$ est la quantité de Beautiful Cars demandée quand le prix est $P$. (La fonction $g$ est la fonction inverse de $f$ ; mathématiquement, on peut écrire $g(P)=f^{-1}(P)$.)

La dérivée de la fonction de demande est $dQ/dP=g'(P)$. C’est une manière de mesurer à quel point la demande du consommateur ($Q$) change en réponse à un changement du prix. Cependant, ce n’est pas une mesure très utile parce qu’elle dépend des unités dans lesquelles sont exprimés $P$ et $Q$. Par exemple, on obtiendrait une réponse différente selon que le prix soit en euros ou en dollars.

À la place, nous définissons l’élasticité-prix de la demande dans le texte comme :

$$-\frac{\text{ variation en % de la quantité demandée}}{\text{ variation en % du prix}}$$

C’est une mesure plus utile de la sensibilité de la demande au prix. Vous pouvez déduire de la définition qu’elle est indépendante des unités de mesure. Cependant elle est étroitement liée à la dérivée $g'(P)$ — pour le voir, supposez que le prix change de $P$ à $P + \Delta P$, entraînant une variation de la quantité demandée de $Q=g(P)$ à $Q + \Delta Q$. Le changement en pourcentage du prix est $100 \Delta P/P$, et le changement en pourcentage de la quantité est $100 \Delta Q/Q$. En substituant cela dans l’expression de l’élasticité, l’on obtient :

$$-\frac{ \Delta Q}{Q} \left/ \frac{\Delta P}{P} \right. = -\frac{P}{Q} \, \frac{ \Delta Q}{ \Delta P}$$

En prenant la limite de cette expression quand $\Delta P \to 0$, on obtient la définition algébrique de l’élasticité-prix de la demande, que nous dénotons par $\varepsilon$ comme dans le texte :

$$\varepsilon = - \frac{P}{Q} \, \frac{ dQ}{dP}$$

Et puisque $Q=g(P)$, l’élasticité peut aussi être écrite comme :

$$\varepsilon = -\frac{Pg'(P)}{g(P)}$$

Remarquez que la valeur de l’élasticité est normalement positive, puisque selon la Loi de la Demande, la dérivée de la fonction de demande sera négative.

Lorsqu’elle est définie de manière algébrique, $\varepsilon$ est seulement approximativement identique à notre définition originale de l’élasticité selon laquelle il s’agit de la variation en pourcentage de la quantité lorsque le prix augmente de 1 %. Cependant, si l’on suppose que l’augmentation de 1 % correspond à une faible augmentation (ce qui est une hypothèse réaliste), c’est une bonne approximation, et nous l’interprétons souvent de cette manière.

Prenez la fonction de demande suivante :

$$Q=100 P^{-0,8}$$

Ici,

$$\varepsilon=-\frac{P}{Q}\,\frac{dQ}{dP} = -\frac{P}{100P^{-0,8}}\times -80P^{-1,8} = 0,8$$

Dans ce cas particulier, l’élasticité de la demande est constante – elle est égale à $0,8$ en tous points de la courbe de demande.

En général les élasticités ne sont pas constantes. Elles varient lorsque l’on se déplace le long de la courbe de demande. L’exemple ci-dessus illustre un cas spécial. Si la forme de la fonction de demande est $Q = aP^{-c}$, où $a$ et $c$ sont des constantes positives, l’élasticité de la demande est $c$. C’est la seule classe de fonctions de demande pour laquelle l’élasticité est constante.

Exprimer l’élasticité en termes de quantité

Une autre expression pour l’élasticité de la demande peut être obtenue en revenant à la fonction de demande inverse $P=f(Q)$. Par la règle des fonctions inverses,

$$\frac{dP}{dQ} = 1 \left/ \frac{dQ}{dP} \right.$$

d’où :

$$\varepsilon = - \frac{P}{Q} \left/ \frac{dP}{dQ} \right. = - \frac{f(Q)}{Qf'(Q)}$$

Un deuxième exemple : supposons que Beautiful Cars fasse face à la fonction de demande inverse :

$$P= 8 000 - 80 Q$$

comme dans la Figure 7.15 du texte. En utilisant l’expression ci-dessus, l’élasticité de la demande est :

$$\varepsilon=-\frac{8 000 -80 Q}{Q\times -80} = \frac{100}{Q} - 1$$

Alternativement, on peut exprimer l’élasticité en termes de prix : $Q=\dfrac{8 000-P}{80}$, donc

$$\varepsilon= -\frac{P}{Q}\, \frac{dQ}{dP} = -\frac{80P}{8 000 -P} \times -\frac{1}{80} = \frac{P}{8 000 -P}$$

Ces deux expressions de $\varepsilon$ montrent que l’élasticité baisse lorsque l’on se déplace vers la droite le long de la courbe de demande, c’est-à-dire lorsque l’on augmente $Q$ et réduit $P$. C’est la cas pour toutes les fonctions de demande linéaires, tout comme le fait que $\varepsilon$ approche $0$ lorsque $P$ approche $0$ et que $\varepsilon$ approche $\infty$ lorsque $P$ approche sa valeur maximale, où $Q=0$. Par conséquent si Beautiful Cars ne vend que deux voitures par jour au prix de $7 840$ dollars, l’élasticité de la demande est de $49$ ; tandis que si l’entreprise vend $95$ voitures par jour pour seulement $400$ dollars par voiture, $\varepsilon=0,053$, arrondie au millième.

Élasticité et recette marginale

Nous avons vu dans le Leibniz 7.6.1 que si la fonction de demande inverse de Beautiful Cars est $f(Q)$, sa fonction de recette est

$$R(Q) = Qf(Q)$$

et que la recette marginale (Rm) est définie comme suit :

$$\text{Rm} = R'(Q) = f(Q) + Qf'(Q)$$

En réécrivant cette expression à l’aide de la formule $\varepsilon=-\dfrac{f(Q)}{Qf'(Q)}$ et en utilisant le fait que $P=f(Q)$, on peut voir qu’il y a une relation entre la recette marginale et l’élasticité de la demande :

$$\text{Rm} = f(Q) - \frac{f(Q)}{\varepsilon} = P\left(1 - \frac{1}{\varepsilon}\right)$$

Cela implique que la recette marginale sera positive quand $\varepsilon\gt1$ et négative quand $\varepsilon\lt1$

Comme nous l’avons remarqué dans le texte, la demande est dite élastique quand $\varepsilon\gt1$ et inélastique quand $\varepsilon\lt1$. Le deuxième exemple montre que la demande peut être élastique et inélastique en différents points de la même courbe. Ce que nous venons de montrer est que la recette marginale est positive si et seulement si l’entreprise opère sur la partie de la courbe de demande sur laquelle la demande est élastique. En particulier, cela sera le cas quand l’entreprise maximise son profit et choisit ainsi un niveau de production de sorte à égaliser recette marginale et coût marginal, car le coût marginal est positif.

Taux de marque

Souvenez-vous du Leibniz 7.6.1 que la condition de premier ordre pour la maximisation du profit est $\text{Rm} = \text{Cm}$, où $\text{Cm}$ désigne le coût marginal. En utilisant la formule pour la recette marginale que nous venons de dériver, nous pouvons réécrire la condition de premier ordre de la manière suivante :

$$(\varepsilon -1)P = \varepsilon \, \text{Cm}$$

En réarrangeant,

$$\frac{P - \text{Cm}}{P} = \frac{1}{\varepsilon}$$

L’expression à gauche de cette équation correspond au taux de marque (markup, en anglais) de l’entreprise – c’est-à-dire la marge de profit $P-\text{Cm}$ comme fraction du prix. L’équation nous dit que le taux de marque (au point maximisant le profit) sera d’autant plus important que l’élasticité de la demande est petite. Par exemple, si l’élasticité de la demande est $5$ à l’optimum, il y a un taux de marque de $20 \%$, tandis qu’une élasticité de la demande de $1,25$ implique que le taux de marque est de $80 \%$, ce qui veut dire que l’entreprise fixe un prix qui vaut cinq fois son coût marginal. La relation inverse entre le taux de marque et l’élasticité-prix de la demande est illustrée par les Figures 7.16 et 7.17 du texte, reproduites ci-dessous en tant que Figure 1.

Élasticité en général

L’élasticité est un concept général en mathématiques, mais à notre connaissance, les économistes sont les seuls à l’utiliser. Imaginez une fonction $y=F(x)$, où $x$ et $y$ ne prennent que des valeurs positives. L’élasticité de $y$ par rapport à $x$ peut être définie comme :

$$\frac{x}{y} \, \frac{dy}{dx} = \frac{xF'(x)}{F(x)}$$

C’est la limite du ratio

$$\frac{\text{ variation en % de} y}{\text{ variation en % de } x}$$

quand le dénominateur tend vers zéro. Une alternative, que nous avons utilisée dans le cas de l’élasticité-prix de la demande, consiste à définir l’élasticité comme la valeur absolue de cette limite.

Pour en savoir plus : Sections 6.4 et 7.4 de Malcolm Pemberton and Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4th ed. Manchester: Manchester University Press.