Leibniz 8.5.1 Gains à l’échange

Les acheteurs et vendeurs participent au marché parce qu’ils en tirent chacun un bénéfice et les surplus du consommateur et du producteur offrent une mesure de leurs gains à l’échange. Nous montrons ici comment calculer le surplus mathématiquement et nous démontrons que l’allocation à l’équilibre concurrentiel maximise les gains à l’échange.

Nous avons décrit les gains à l’échange sur le marché du pain d’une ville en utilisant la Figure 8.9a, reproduite ci-dessous en tant que Figure 1. Le surplus obtenu par les consommateurs est représenté par la surface sous la courbe de demande et au-dessus de la droite horizontale correspondant au prix du marché. Le surplus du producteur correspond à la surface au-dessus de la courbe d’offre et sous la droite horizontale du prix. La somme des deux aires correspond au gain total à l’échange sur ce marché.

Afin de déterminer mathématiquement les gains à l’échange, supposez que la demande de pains soit décrite par la fonction de demande inverse $P=f(Q)$, où $P$ est le prix et $Q$, le nombre de pains. Sous l’hypothèse habituelle selon laquelle les courbes de demande sont décroissantes (Loi de la Demande), $f$ est une fonction décroissante. Souvenez-vous que la fonction de demande nous donne la disposition à payer (DAP) pour le pain. Si les consommateurs étaient rangés par ordre croissant de disposition à payer pour un pain, le $q^{ème}$ consommateur serait disposé à payer $P = f(q)$. Tout consommateur dont la disposition à payer est supérieure au prix du marché obtient un surplus. Si nous supposons que le prix du marché pour un pain est de $P_0$, le surplus du $q^{ème}$ consommateur sera $f(q) - P_0$. Dans le graphique, cela correspond à la distance verticale, au niveau de la quantité $q$, entre la courbe de demande et la droite horizontale au niveau du prix du marché.

Le surplus du consommateur est donné par l’addition des surplus de tous les consommateurs qui achètent du pain à ce prix. Puisque nous avons décrit la demande en utilisant une fonction continue (nous ne travaillons pas avec un nombre discret de pains), nous devons utiliser l’intégration pour additionner tous les surplus individuels. Supposez que le prix soit $P_0$ et que la quantité totale vendue soit $Q$. Il faut alors additionner les surplus $(f(q)-P_0)$ en tous points de la demande entre $q=0$ et $q=Q$ :

$$\mbox{ surplus du consommateur} = \int_0^Q (f(q) - P_0) \, dq = \int_0^Q f(q) \, dq - P_0Q = F(Q) - P_0Q$$

Dans cette expression, nous avons introduit la notation $F(Q)$ pour désigner l’intégrale de la fonction $f$, c’est-à-dire, la surface sous la courbe de demande pour les quantités entre 0 et $Q$. Par le théorème fondamental du calcul intégral :

$$F'(Q) = f(Q)$$

Il découle de la Loi de la Demande que $F'$ est une fonction décroissante, donc $F$ est une fonction concave.

La surface rouge de la Figure 1 montre le surplus du consommateur quand le marché est à l’équilibre concurrentiel, avec $P_0 = 2$ et $Q = 5 000$. C’est la surface de la région quasi-triangulaire délimitée par la courbe de demande, l’axe verticale et la droite $P=P_0$. (Par « quasi-triangulaire », nous voulons dire que l’aire serait triangulaire si la courbe de demande était une droite).

On peut calculer le surplus du producteur d’une manière similaire. Souvenez-vous du supplément Leibniz 8.4.1 où vous avez vu que la courbe d’offre inverse correspond à la courbe de coût marginal de la production de pain sur ce marché. Soit le coût total pour les boulangeries de produire une quantité $Q$, $C(Q)$. Alors le coût marginal est $C'(Q)$, et $P=C'(Q)$ est l’équation de la courbe d’offre inverse du marché.

Nous supposons, comme dans le texte, que $C'(Q)$ est positif et croissant en $Q$, ce qui signifie que $C$ est une fonction croissante et convexe. Nous supposerons aussi que $C(0) = 0$, ainsi nous pouvons écrire :

$$C(Q) = \int_0^Q C'(q) \, dq$$

par le théorème fondamental du calcul intégral. Cette équation nous dit que le coût total $C(Q)$ correspond à l’aire en dessous de la courbe de coût marginal pour des quantités inférieures ou égales à $Q$. Si $C(0)$ n’était pas nul, nous dirions à la place que l’aire en dessous de la courbe de coût marginal serait égale au coût variable total, c’est-à-dire au coût total sans les coûts fixes que les boulangeries paient même quand elles ne produisent pas de pain.

Si une boulangerie vend le $q^{ème}$ pain au prix de $P_0$, son surplus de la transaction est $P_0$ moins le coût de produire ce pain, $C'(q)$. Si le nombre total de pains produits et vendus au prix $P_0$ est $Q$, le surplus du producteur correspond à la somme des surplus sur chaque pain :

$$\mbox{surplus du producteur} = \int_0^Q (P_0 - C'(q)) \, dq = P_0 Q - \int_0^Q C'(q) \, dq = P_0 Q - C(Q)$$

Vous pouvez voir à partir de cette expression que, sous l’hypothèse selon laquelle $C(0) = 0$, le surplus du producteur est égal au profit de l’entreprise. Si l’entreprise avait aussi des coûts fixes, son profit serait égal au surplus du producteur moins ses coûts fixes.

La surface violette de la Figure 1 montre le surplus du producteur dans le cas d’un équilibre concurrentiel, avec $P_0 = 2$ et $Q = 5 000$. Il correspond à l’aire de la région quasi-triangulaire délimitée par la courbe d’offre, l’axe des ordonnées et la droite horizontale $P = P_0$.

Remarquez que les expressions que nous avons obtenues pour le surplus du consommateur, $F(Q)-P_0Q$, et le surplus du producteur, $P_0Q-C(Q)$, donnent la valeur des surplus pour tout prix $P_0$ et pour toute quantité $Q$ ; elles s’appliquent que le prix égalise, ou pas, l’offre et la demande. La Figure 2 montre le surplus du consommateur et celui du producteur dans le cas général d’un prix $P_0$ et d’une quantité $Q$ arbitraires.

Maximiser les surplus du consommateur et du producteur

Puisque les surplus du consommateur et du producteur mesurent les gains à l’échange, il est utile de connaître les conditions qui les rendent aussi grands que possible. Prenons d’abord notre expression pour le surplus du consommateur, que nous appellerons $SC$ :

$$SC = F(Q) - P_0Q$$

Pour un prix donné $P_0$, la quantité $Q$ qui maximise le surplus du consommateur peut être trouvée en égalisant la dérivée de $SC$ et zéro :

$$F'(Q) = P_0$$

Remarquez que puisque $F(Q)$ est concave, la dérivée seconde de $SC$ est négative, ce qui confirme que cette condition nous donne un maximum.

Cette équation nous dit que si le prix est $P_0$, $SC$ est maximisé quand la quantité vendue se trouve sur la courbe de demande à $P_0$ – c’est-à-dire quand tous les consommateurs dont la disposition à payer est supérieure ou égale à $P_0$ participent au marché. Si moins de consommateurs participent, il y a des gains inexploités ; si d’autres consommateurs achetaient du pain, ils en obtiendraient un surplus négatif, diminuant le surplus du consommateur au niveau agrégé.

De la même manière, l’on peut montrer que le surplus du producteur

$$PS = P_0Q-C(Q)$$

est maximisé quand

$$P_0 =C'(Q)$$

Quel que soit le prix, les producteurs maximisent leur surplus si le coût marginal du pain est égal au prix.

Maximiser le surplus total

La somme des surplus du producteur et du consommateur est le surplus total. Quand le prix est $P_0$ et la quantité vendue est $Q$:

$$N(Q) = F(Q) - P_0 Q + P_0 Q - C(Q)$$ $$\text{surplus social} = \text{surplus du consommateur} +\text{surplus du producteur}$$

Le surplus total peut être simplifié de la manière suivante :

$$N(Q) = F(Q) - C(Q)$$

Remarquez que le surplus total dépend seulement de la quantité vendue. Quel que soit le prix, la somme payée pour le pain est une perte pour les consommateurs et un gain de même valeur pour les entreprises, donc les deux s’annulent lorsque l’on évalue le surplus total du marché.

Pour trouver la quantité $Q^*$ qui maximise le surplus total, il faut égaliser la dérivée de $N(Q)$ à zéro. $Q^*$ est alors la quantité qui satisfait cette équation :

$$F'(Q^*) =C'(Q^*)$$

Afin de s’assurer que $Q^*$ maximise $N$, il faut considérer la dérivée seconde. Souvenez-vous que $F$ est concave et que $C$ est convexe. Par conséquent, la dérivée seconde de $F$ est négative et la dérivée seconde de $C$ est positive. Nous pouvons en déduire que la dérivée seconde de $N$ est négative et donc que $Q^*$ correspond à un maximum.

Puisque $F'(Q^*) =f(Q^*)$, cette équation nous dit que $Q^*$ est le point auquel la courbe de demande inverse $P=f(Q)$ croise la courbe d’offre inverse $P=C'(Q)$. $Q^*$ est le niveau de production auquel les courbes de demande et d’offre se croisent. C’est le niveau de production atteint quand le marché est à l’équilibre concurrentiel. Par conséquent, nous avons prouvé que dans l’allocation de l’équilibre concurrentiel, pour laquelle la demande et l’offre s’égalisent au prix d’équilibre $P^* = f(Q^*) =C'(Q^*)$, la quantité vendue maximise les gains totaux à l’échange.

Pour en savoir plus : Sections 8.4 et 19.1 de Malcolm Pemberton and Nicholas Rau. 2015. Mathematics for economists: An introductory textbook, 4th ed. Manchester: Manchester University Press.