Leibniz 22.2.1 Durée attendue d’un dictateur ou d’une élite dirigeante

Plus les recettes fiscales annuelles levées par le dictateur sont élevées, plus la probabilité qu’il soit destitué est élevée, et plus courte sera la période qu’il peut s’attendre à passer au pouvoir. Dans ce Leibniz nous dérivons mathématiquement la relation entre recettes fiscales et durée attendue, c’est-à-dire la courbe de durée.

Le dictateur peut être destitué pour mauvaise performance (les rentes politiques qu’il collecte sous forme d’impôts dépassant le coût de fourniture du bien public) ou pour des raisons indépendantes de sa performance. Nous désignons par $\Delta^p$ la probabilité de destitution pour des raisons de performance, pour toute année. Plus l’impôt annuel perçu, $T$, est élevé, plus la probabilité de destitution est élevée. En d’autres termes, $\Delta^p$ est une fonction croissante de $T$, donc nous l’écrivons comme $\Delta^p(T)$. Si nous désignons la probabilité de destitution pour des raisons indépendantes de la performance par $\Delta^u$, la probabilité d’être destitué pour toute raison, pour toute année, que nous désignons par $\Delta$, est égale à la somme de ces deux probabilités :

$$\Delta=\Delta^p(T) + \Delta^u$$

Il s’agit, à proprement parler, d’une approximation, car nous excluons la possibilité qu’une mauvaise performance et d’autres raisons surviennent la même année. C’est cependant une bonne approximation à condition que les probabilités $\Delta^p$ et $\Delta^u$ ne soient pas élevées.

Supposez qu’une fois que le dictateur ait fixé le niveau d’imposition, il ne le change plus, et que rien d’autre ne change dans le temps, de sorte que la probabilité de destitution $\Delta$ reste constante, quelle que soit sa durée au pouvoir. Supposez que sa durée attendue au pouvoir au début de l’année courante soit de $D$ années, et que s’il survit cette année (ce qui arrive avec la probabilité $1-\Delta$), alors au début de l’année suivante sa durée attendue sera de $D_1$ années. La durée cette année est égale à un an plus la durée supplémentaire attendue dans le futur.

$$D=1 + (1-\Delta)D_1$$

Cependant si le dictateur parvient à rester au pouvoir pendant toute l’année, sa probabilité de destitution sera exactement la même au début de l’année prochaine que celle aujourd’hui. La durée attendue au début de l’année prochaine sera donc exactement la même que cette année. Par conséquent, $D_1=D$ et

$$D=1 + (1-\Delta)D$$

Nous résolvons cette équation pour $D$ et nous obtenons $D=1/\Delta$, ou, de manière équivalente :

$$D=\frac{1}{\Delta^p(T)+\Delta^u}$$

C’est l’équation de la courbe de durée illustrée dans la Figure 22.5 du texte, reproduite ici en tant que Figure 1. Elle est tracée avec $D$ en abscisse. Puisque $\Delta^p$ est une fonction croissante de $T$, $D$ décroît en $T$, donc la courbe est décroissante. La forme de la courbe dépend de la forme de la fonction $\Delta^p(T)$, mais pour plus de simplicité nous la traçons comme une droite.

Quand la recette fiscale ne fait que couvrir le coût du service public, $T = C$, le dictateur ne touche aucune rente politique, dans ce cas nous supposons qu’il ne risque pas d’être destitué pour des raisons de performance, ce qui signifie que $\Delta^p(C) = 0$. Par conséquent, sa durée au pouvoir maximum $D^{\text{max}}$, a lieu quand $T=C$ et est donc donnée par :

$$D^\text{max}=\frac{1}{\Delta^u}$$